Geometría en el espacio: Haz de planos y volumen del paralelepípedo

**a) (1,25 puntos) Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y que pasa por el punto $(0,0,1)$.** Para hallar un plano $\pi$ que contiene a una recta expresada como intersección de dos planos, lo más sencillo es utilizar el concepto de **haz de planos**. La ecuación del haz de planos que contiene a la recta $r$ es: $$\alpha(x + z - 1) + \beta(2x + y - 3) = 0$$ Donde $\alpha$ y $\beta$ son parámetros reales. Imponemos que el punto $P(0,0,1)$ pertenezca al plano sustituyendo sus coordenadas en la ecuación anterior: $$\alpha(0 + 1 - 1) + \beta(2\cdot 0 + 0 - 3) = 0$$ $$\alpha(0) - 3\beta = 0 \implies -3\beta = 0 \implies \beta = 0$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir el punto obtenemos que un parámetro es cero, significa que el plano buscado es precisamente uno de los planos que definían la recta originalmente. Como $\beta = 0$, el plano buscado es el correspondiente al primer término del haz (con $\alpha \neq 0$): $$1 \cdot (x + z - 1) + 0 \cdot (2x + y - 3) = 0 \implies x + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x + z - 1 = 0}$$

**b) (0,75 puntos) Se considera el paralelepípedo definido por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{u} \times \vec{v}$. Sabiendo que $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, 1)$, calcule el volumen de dicho paralelepípedo.** El volumen $V$ de un paralelepípedo definido por tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$ viene dado por el valor absoluto del **producto mixto** de dichos vectores: $$V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$$ En este caso, los vectores son $\vec{u}$, $\vec{v}$ y un tercer vector $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$. Sustituyendo en la fórmula: $$V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|$$ Notamos que el producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo: $$\vec{A} \cdot \vec{A} = |\vec{A}|^2$$ Dado que $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 1, 1)$, calculamos su módulo al cuadrado: $$|\vec{u} \times \vec{v}|^2 = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$$ Por tanto, el volumen es: $$V = |3| = 3 \text{ unidades cúbicas}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto mixto representa el volumen orientado. Al usar el producto vectorial como tercer vector, siempre obtenemos el cuadrado de la norma, que es positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 3 \text{ u}^3}$$