Resolución de un sistema matricial

**3) Resuelva el sistema matricial $$\begin{cases} X - 2Y = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \\ 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 7 & 6 & -1 \\ 14 & 3 & 7 \end{pmatrix} \end{cases}$$** Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, utilizaremos el método de reducción (también llamado de eliminación), tratándolo de forma similar a un sistema de ecuaciones lineales numéricas. Sean las matrices constantes: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 6 & -1 \\ 14 & 3 & 7 \end{pmatrix}$$ El sistema es: $$\begin{cases} (1) \quad X - 2Y = A \\ (2) \quad 2X + 3Y = B \end{cases}$$ Multiplicamos la ecuación (1) por $-2$ para eliminar la variable $X$ al sumar ambas ecuaciones: $$-2(X - 2Y) = -2A \implies -2X + 4Y = -2A$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz por un escalar, se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Sumamos la ecuación modificada con la ecuación (2): $$(-2X + 4Y) + (2X + 3Y) = -2A + B$$ $$7Y = B - 2A$$ Calculamos primero $-2A$: $$-2A = -2 \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $7Y = B + (-2A)$: $$7Y = \begin{pmatrix} 7 & 6 & -1 \\ 14 & 3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -6 & -6 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & -7 \\ 14 & 7 & 7 \end{pmatrix}$$ Despejamos $Y$ multiplicando por $\frac{1}{7}$: $$Y = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & 0 & -7 \\ 14 & 7 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $X$, sustituimos el valor de $Y$ en la ecuación (1): $$X - 2Y = A \implies X = A + 2Y$$ Calculamos $2Y$: $$2Y = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Sumamos $A + 2Y$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La suma de matrices se realiza elemento a elemento. Ambas matrices deben tener la misma dimensión, lo cual se cumple aquí ($2 \times 3$). ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}}$$