Operaciones matriciales, matriz inversa y potencias de matrices

**a) (1 punto) Calcule, si es posible, $(A \cdot B^t)^{-1}$.** En primer lugar, para calcular $(A \cdot B^t)^{-1}$, debemos obtener el producto de $A$ por la transpuesta de $B$. Calculamos la matriz transpuesta $B^t$ intercambiando sus filas por columnas: $$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto $M = A \cdot B^t$. Como $A$ es $2 \times 3$ y $B^t$ es $3 \times 2$, el resultado será una matriz $2 \times 2$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 3\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 3\cdot 1 \\ -1\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 & -1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto sea posible, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Para que la matriz $M = A \cdot B^t$ sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (3 \cdot 0) - (4 \cdot 1) = -4$$ Como $|M| = -4 \neq 0$, la matriz **es invertible**. Calculamos la matriz inversa mediante la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M^t)$: 1) Matriz transpuesta: $M^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ 2) Matriz adjunta de la transpuesta: $$\text{Adj}(M^t) = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 3) Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/4 & -3/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A \cdot B^t)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{4} \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Compruebe que, $C^3 = I$, donde $I$ es la matriz identidad, y calcule $C^{16}$.** Calculamos primero $C^2$: $$C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & -1+0 \\ 1+0 & -1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $C^3$ usando el resultado anterior: $$C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+0 \\ -1+1 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectivamente, se comprueba que **$C^3 = I$**.

Para calcular $C^{16}$, aprovechamos que $C^3 = I$. Dividimos el exponente entre 3 para ver cuántos ciclos completos de la identidad tenemos: $$16 = 3 \cdot 5 + 1$$ Esto nos permite descomponer la potencia como: $$C^{16} = (C^3)^5 \cdot C^1$$ Sustituyendo $C^3$ por la identidad $I$: $$C^{16} = I^5 \cdot C = I \cdot C = C$$ Como $I^n = I$ para cualquier $n$, el resultado es simplemente la matriz $C$: $$C^{16} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En potencias altas de matrices, busca siempre una regularidad (ciclo) como $I, -I$ o la propia matriz para simplificar el cálculo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{C^{16} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$