Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetro m

**1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x + y + (m + 1)z = 2 \\ x + (m - 1)y + 2z = 1 \\ 2x + my + z = -1 \end{cases}$ Discuta el sistema según los valores de $m \in \mathbb{R}$.** Primero, representamos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m+1 \\ 1 & m-1 & 2 \\ 2 & m & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m+1 & \vline & 2 \\ 1 & m-1 & 2 & \vline & 1 \\ 2 & m & 1 & \vline & -1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona los rangos de estas matrices con el número de soluciones del sistema. 💡 **Tip:** Recuerda que si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es Compatible Determinado (SCD). Si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$, es Compatible Indeterminado (SCI). Si $rg(A) \neq rg(A^*)$, es Incompatible (SI).

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores de $m$ que hacen que el rango de $A$ sea menor que $3$. Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m+1 \\ 1 & m-1 & 2 \\ 2 & m & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (m-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + (m+1) \cdot 1 \cdot m] - [2 \cdot (m-1) \cdot (m+1) + m \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [m - 1 + 4 + m^2 + m] - [2(m^2 - 1) + 2m + 1]$$ $$|A| = [m^2 + 2m + 3] - [2m^2 - 2 + 2m + 1]$$ $$|A| = m^2 + 2m + 3 - 2m^2 - 2m + 1 = -m^2 + 4$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m^2 + 4 = 0 \implies m^2 = 4 \implies \mathbf{m = 2, \quad m = -2}$$

Si $m \neq 2$ y $m \neq -2$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - El rango de $A$ es **$rg(A) = 3$**. - Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por lo tanto, **$rg(A^*) = 3$**. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al ser $rg(A) = rg(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 2, -2 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Si **$m = 2$**, sustituimos el valor en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 1. **Rango de $A$:** Como $|A|=0$, el rango no es $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ 2. **Rango de $A^*$:** Comprobamos si el rango de $A^*$ puede ser $3$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = [-2 + 6 + 2] - [8 + 1 - 3] = 6 - 6 = 0$$ Al ser todas las columnas de $A^*$ combinaciones lineales (en particular la columna 1 y 2 son iguales), y el determinante de cualquier menor de orden $3$ es $0$, tenemos que **$rg(A^*) = 2$**. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = 2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}}$$

Si **$m = -2$**, sustituimos el valor en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 1. **Rango de $A$:** Sabemos que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 - 1 = -4 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ 2. **Rango de $A^*$:** Estudiamos el determinante de un menor de orden $3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = [3 + 2 - 4] - [-12 - 2 - 1] = 1 - (-15) = 16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ distinto de cero, **$rg(A^*) = 3$**. Al ser **$rg(A) \neq rg(A^*)$** ($2 \neq 3$), el Teorema de Rouché-Frobenius indica que el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, **no tiene solución**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } m = -2 \implies \text{SI (No tiene solución)}}}$$