Geometría en el espacio: planos y rectas

**a) Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. (1.25 puntos)** Para hallar un plano perpendicular a una recta, el vector director de la recta, $\vec{d}_r$, nos servirá como vector normal del plano, $\vec{n}_{\pi}$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (1, 1, 0)$ $\vec{n}_2 = (0, 1, -3)$ Calculamos $\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ mediante el determinante: $$\vec{d}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{d}_r = (1 \cdot (-3) \cdot \mathbf{i}) + (1 \cdot 1 \cdot \mathbf{k}) + (0 \cdot 0 \cdot \mathbf{j}) - (0 \cdot 1 \cdot \mathbf{i}) - (1 \cdot (-3) \cdot \mathbf{j}) - (1 \cdot 0 \cdot \mathbf{k})$$ $$\vec{d}_r = -3\mathbf{i} + \mathbf{k} + 3\mathbf{j} = (-3, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Como el plano $\pi_1$ es perpendicular a $r$, tomamos como vector normal del plano $\vec{n}_{\pi_1} = \vec{d}_r = (-3, 3, 1)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usamos el vector normal y el punto $A(1, -2, 0)$: $$-3(x - 1) + 3(y - (-2)) + 1(z - 0) = 0$$ Desarrollamos la expresión: $$-3x + 3 + 3y + 6 + z = 0$$ $$-3x + 3y + z + 9 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$3x - 3y - z - 9 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - 3y - z - 9 = 0}$$

**b) Calcula la ecuación del plano que pasa por $A$ y contiene a $r$. (1.25 puntos)** Para que un plano contenga a una recta $r$ y pase por un punto $A$ externo a ella, necesitamos: 1. El vector director de la recta: $\vec{d}_r = (-3, 3, 1)$. 2. Un punto de la recta, $P_r$. 3. El vector que une el punto de la recta con el punto $A$: $\vec{AP_r}$. Buscamos un punto $P_r$ de la recta $r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0 \end{cases}$. Si fijamos $z = 0$, tenemos: $y - 3(0) + 2 = 0 \implies y = -2$ $x + (-2) = 0 \implies x = 2$ Por tanto, el punto es $P_r(2, -2, 0)$. Calculamos el vector $\vec{AP_r}$: $$\vec{AP_r} = P_r - A = (2 - 1, -2 - (-2), 0 - 0) = (1, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** Si el punto $A$ perteneciera a la recta, habría infinitos planos. Comprobamos que $A(1, -2, 0)$ no está en $r$: $1 + (-2) = -1 \neq 0$.

El plano $\pi_2$ vendrá determinado por el punto $A(1, -2, 0)$ y los vectores directores $\vec{u} = \vec{AP_r} = (1, 0, 0)$ y $\vec{v} = \vec{d}_r = (-3, 3, 1)$. La ecuación del plano se obtiene igualando a cero el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y + 2 & z - 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene más ceros): $$-1 \cdot \begin{vmatrix} y + 2 & z \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$-(1 \cdot (y + 2) - 3 \cdot z) = 0$$ $$-(y + 2 - 3z) = 0$$ $$-y - 2 + 3z = 0$$ Multiplicando por $-1$: $$y - 3z + 2 = 0$$ 💡 **Tip:** Observa que el plano resultante es precisamente uno de los planos que definen la recta en el enunciado. Esto es lógico, ya que ese plano ya contenía a la recta y hemos comprobado que también contiene al punto $A$ (pues $y-3z+2 = -2-0+2 = 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{y - 3z + 2 = 0}$$