Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) [1,5 puntos] Discute el sistema dado por $AX = B$, según los valores de $a$** Primero, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ para determinar su rango: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la primera fila: $$|A| = 1 \cdot (0 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$$ $$|A| = 1(-1) - 1(0) + 1(1) = -1 + 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es $0$, su rango es menor que $3$. Esto significa que las filas o columnas son linealmente dependientes.

Como el determinante es $0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Para ver si es $2$, buscamos un menor de orden $2$ (un determinante de una submatriz $2 \times 2$) que sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \neq 0$$ Al existir un menor de orden $2$ no nulo, podemos afirmar que: $$\mathbf{\text{rango}(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de ella.

Estudiamos el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ añadiendo la columna de términos independientes: $$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 & 2a \\ 4 & 1 & 4 & 3a \end{array} \right)$$ Para ver si el rango de $(A|B)$ es $3$, calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes (por ejemplo, usando las columnas 1, 2 y 4): $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & 2a \\ 4 & 1 & 3a \end{vmatrix} = 1(0 \cdot 3a - 2a \cdot 1) - 1(1 \cdot 3a - 4 \cdot 2a) + a(1 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$$ $$|M| = 1(-2a) - 1(3a - 8a) + a(1) = -2a - (-5a) + a = -2a + 5a + a = 4a$$ 💡 **Tip:** Para que el rango de la matriz ampliada sea $3$, al menos uno de los menores de orden $3$ debe ser distinto de cero.

Analizamos los casos según el valor de $4a$: * **Si $4a \neq 0$ (es decir, $a \neq 0$):** El determinante del menor de orden $3$ es distinto de cero, por lo que el $\text{rango}(A|B) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A|B) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el **sistema es incompatible (no tiene solución)**. * **Si $4a = 0$ (es decir, $a = 0$):** La columna de términos independientes es nula (sistema homogéneo) o combinación lineal de las otras, por lo que el $\text{rango}(A|B) = \text{rango}(A) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|B) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el **sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones)**. ✅ **Resultado (discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0 \implies \text{S. Incompatible} \\ a = 0 \implies \text{S. Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Para $a = 0$, resuelve el sistema. Calcula una solución en la que $y + z = 4$.** Para $a = 0$, el sistema es: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + z = 0 \\ 4x + y + 4z = 0 \end{cases}$$ Utilizamos las dos primeras ecuaciones, ya que el rango es $2$ y la tercera es dependiente. De la segunda ecuación obtenemos directamente: $$x = -z$$ Sustituyendo $x = -z$ en la primera ecuación: $$(-z) + y + z = 0 \implies y = 0$$ Si llamamos $z = \lambda$ (siendo $\lambda \in \mathbb{R}$), la solución general es: $$(x, y, z) = (-\lambda, 0, \lambda)$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre expresamos las soluciones en función de uno o más parámetros (en este caso, $\lambda$).

Se nos pide encontrar una solución específica donde se cumpla la condición $y + z = 4$. Sustituimos los valores de nuestra solución general $(-\lambda, 0, \lambda)$ en dicha condición: $$y + z = 4 \implies 0 + \lambda = 4 \implies \lambda = 4$$ Sustituyendo el valor $\lambda = 4$ en la solución general: - $x = -\lambda = -4$ - $y = 0$ - $z = \lambda = 4$ ✅ **Resultado (solución particular):** $$\boxed{(x, y, z) = (-4, 0, 4)}$$