Integral de una función racional y cálculo de primitiva

**a) Calcula $\int f(x) \, dx$. (2 puntos)** Nos encontramos ante la integral de una función racional. Lo primero que debemos observar es el grado del numerador y del denominador. El numerador es $3x^2+4$ (grado 2) y el denominador es $(x-2)^2 = x^2-4x+4$ (grado 2). Como los grados son iguales, realizamos la división polinómica: $$\begin{array}{r|l} 3x^2 + 0x + 4 & x^2 - 4x + 4 \\ \hline -(3x^2 - 12x + 12) & 3 \\ \hline 12x - 8 & \end{array}$$ Recordando que $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, podemos reescribir la función como: $$f(x) = 3 + \frac{12x - 8}{(x - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, el primer paso es dividir.

Ahora debemos descomponer la parte racional $\frac{12x - 8}{(x - 2)^2}$ en fracciones simples. Al tener una raíz real doble ($x=2$), la estructura es: $$\frac{12x - 8}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2}$$ Igualamos los numeradores: $$12x - 8 = A(x - 2) + B$$ Para hallar los coeficientes, damos valores a $x$: - Si $x = 2 \implies 12(2) - 8 = B \implies 24 - 8 = B \implies \mathbf{B = 16}$ - Si $x = 0 \implies -8 = A(-2) + 16 \implies -24 = -2A \implies \mathbf{A = 12}$ Por lo tanto, la función queda desglosada como: $$f(x) = 3 + \frac{12}{x - 2} + \frac{16}{(x - 2)^2}$$ $$\boxed{f(x) = 3 + \frac{12}{x - 2} + 16(x - 2)^{-2}}$$

Procedemos a integrar término a término utilizando la linealidad de la integral: $$\int f(x) \, dx = \int 3 \, dx + 12 \int \frac{1}{x - 2} \, dx + 16 \int (x - 2)^{-2} \, dx$$ Calculamos cada una: 1. $\int 3 \, dx = 3x$ 2. $12 \int \frac{1}{x - 2} \, dx = 12 \ln|x - 2|$ 3. $16 \int (x - 2)^{-2} \, dx = 16 \frac{(x - 2)^{-1}}{-1} = -\frac{16}{x - 2}$ Sumamos la constante de integración $C$: ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int f(x) \, dx = 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + C}$$

**b) Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5)$. (0.5 puntos)** Sea $F(x)$ la primitiva genérica hallada en el apartado anterior: $$F(x) = 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + C$$ Si la gráfica pasa por $(3, 5)$, se debe cumplir que $F(3) = 5$: $$F(3) = 3(3) + 12 \ln|3 - 2| - \frac{16}{3 - 2} + C = 5$$ $$9 + 12 \ln(1) - 16 + C = 5$$ Como $\ln(1) = 0$: $$9 + 0 - 16 + C = 5$$ $$-7 + C = 5 \implies C = 12$$ Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva: ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = 3x + 12 \ln|x - 2| - \frac{16}{x - 2} + 12}$$