Extremos absolutos y rectas tangente/normal

**a) Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)** Para hallar los extremos de la función $f(x) = \frac{\text{sen } x}{2 - \cos x}$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$, primero calculamos su derivada utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{\cos x \cdot (2 - \cos x) - \text{sen } x \cdot (\text{sen } x)}{(2 - \cos x)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2\cos x - \cos^2 x - \text{sen}^2 x}{(2 - \cos x)^2}$$ Recordando la identidad fundamental $\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$, tenemos que $-\cos^2 x - \text{sen}^2 x = -1$: $$f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente para derivar $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}}$$

Los puntos críticos se obtienen cuando $f'(x) = 0$. Como el denominador $(2 - \cos x)^2$ nunca es cero (ya que $\cos x$ varía entre $-1$ y $1$), igualamos el numerador a cero: $$2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$$ Dentro del intervalo $[0, 2\pi]$, los valores de $x$ que cumplen esta condición son: $$x_1 = \frac{\pi}{3} \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{5\pi}{3}$$ 💡 **Tip:** En el primer y cuarto cuadrante el coseno es positivo. Los ángulos cuyo coseno es $1/2$ son $60^\circ$ ($\pi/3$) y $300^\circ$ ($5\pi/3$). $$\boxed{x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{3}}$$

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[0, 2\pi]$ para identificar los máximos y mínimos relativos. El denominador siempre es positivo, por lo que el signo depende de $2\cos x - 1$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & [0, \pi/3) & \pi/3 & (\pi/3, 5\pi/3) & 5\pi/3 & (5\pi/3, 2\pi] \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = \frac{\pi}{3}$ hay un **máximo relativo**. - En $x = \frac{5\pi}{3}$ hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** Para evaluar el signo, puedes probar con valores sencillos como $x=0$ ($f'(0)=1/1 > 0$) o $x=\pi$ ($f'(\pi)=-3/9 < 0$).

Para hallar los extremos absolutos en un intervalo cerrado, comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[0, 2\pi]$: 1. **Extremos del intervalo:** - $f(0) = \frac{\text{sen } 0}{2 - \cos 0} = \frac{0}{2 - 1} = 0$ - $f(2\pi) = \frac{\text{sen } 2\pi}{2 - \cos 2\pi} = \frac{0}{2 - 1} = 0$ 2. **Puntos críticos:** - $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{sen}(\pi/3)}{2 - \cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{2 - 1/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$ - $f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\text{sen}(5\pi/3)}{2 - \cos(5\pi/3)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{2 - 1/2} = \frac{-\sqrt{3}/2}{3/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$ Comparando los valores: - El valor máximo es $\frac{\sqrt{3}}{3}$. - El valor mínimo es $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo absoluto en } x = \frac{\pi}{3} \text{ con valor } f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ &\text{Mínimo absoluto en } x = \frac{5\pi}{3} \text{ con valor } f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{\\sin x}{2-\\cos x}\\left\{0\\le x\\le 2\\pi\\right\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(\\pi/3, \\sqrt{3}/3)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Máx Abs" }, { "id": "min", "latex": "(5\\pi/3, -\\sqrt{3}/3)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mín Abs" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 7, "bottom": -1, "top": 1 } } }

**b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{3}$. (0.5 puntos)** Para $x_0 = \frac{\pi}{3}$, ya conocemos los valores: - Ordenada: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ - Pendiente de la tangente: $m_T = f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\cos(\pi/3) - 1}{(2 - \cos(\pi/3))^2} = \frac{2(1/2) - 1}{(3/2)^2} = \frac{0}{2.25} = 0$ La ecuación de la recta tangente es: $$y - f(x_0) = m_T(x - x_0) \implies y - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$ $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ 💡 **Tip:** Cuando la derivada es cero en un punto, la recta tangente es horizontal. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

La recta normal es perpendicular a la tangente. Su pendiente $m_N$ cumpliría $m_T \cdot m_N = -1$. Sin embargo, como $m_T = 0$ (recta horizontal), la recta normal debe ser una **recta vertical** que pase por el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{3}$. La ecuación de una recta vertical es de la forma $x = a$. 💡 **Tip:** Si la tangente es $y = k$ (horizontal), la normal es $x = a$ (vertical) en el punto $(a, k)$. ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{x = \frac{\pi}{3}}$$