Posición relativa de dos rectas y perpendicular común

**a) [1,25 puntos] Estudia la posición relativa de las rectas según el valor de $a$ (con $a \neq 0$).** Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio, primero extraemos un punto y un vector director de cada una. Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r(1, 2, 1)$ - Vector director $\vec{v_r} = (1, 1, a)$ Para la recta $s$ (en forma continua): - Punto $P_s(3, 3, -1)$ - Vector director $\vec{v_s} = (-a, -1, 2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Comprobamos si los vectores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ son proporcionales: $$\frac{1}{-a} = \frac{1}{-1} = \frac{a}{2}$$ De la igualdad $\frac{1}{-a} = \frac{1}{-1}$, obtenemos que $-a = -1 \implies a = 1$. Sin embargo, si sustituimos $a=1$ en la tercera fracción: $\frac{1}{2} \neq -1$. Esto significa que no existe ningún valor de $a$ para el cual los vectores sean paralelos. Por tanto, las rectas **no pueden ser paralelas ni coincidentes**. $$\boxed{\text{Las rectas siempre se cortan o se cruzan.}}$$

Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$. Calculamos $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (3-1, 3-2, -1-1) = (2, 1, -2)$$ Planteamos el determinante $\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$: $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ -a & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$\Delta = [1 \cdot (-1) \cdot (-2) + (-a) \cdot 1 \cdot a + 2 \cdot 1 \cdot 2] - [2 \cdot (-1) \cdot a + (-a) \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot 2]$$ $$\Delta = (2 - a^2 + 4) - (-2a + 2a + 2)$$ $$\Delta = (6 - a^2) - (2) = 4 - a^2$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los vectores son coplanarios (las rectas se cortan). Si es distinto de cero, se cruzan.

Analizamos los valores de $a$ que anulan el determinante: $$4 - a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ - **Si $a = 2$ o $a = -2$:** El determinante es cero. Como los vectores directores no son paralelos, las rectas **se cortan en un punto**. - **Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$ (y $a \neq 0$):** El determinante es distinto de cero. Las rectas **se cruzan en el espacio**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a = \pm 2 \implies \text{Rectas que se cortan} \\ a \neq \pm 2, 0 \implies \text{Rectas que se cruzan} \end{cases}}$$

**b) [1,25 puntos] Para $a = 2$, halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$.** Cuando $a=2$, sabemos que las rectas se cortan. La recta $t$ que las corta perpendicularmente pasará por el punto de intersección $Q$. Expresamos las rectas en paramétricas (con $a=2$): $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 3 - 2\mu \\ y = 3 - \mu \\ z = -1 + 2\mu \end{cases}$ Igualamos $x$ e $y$: 1) $1 + \lambda = 3 - 2\mu \implies \lambda + 2\mu = 2$ 2) $2 + \lambda = 3 - \mu \implies \lambda + \mu = 1$ Restando (1) - (2): $\mu = 1$. Sustituyendo en (2): $\lambda = 0$. Comprobamos en $z$: $1 + 2(0) = 1$ y $-1 + 2(1) = 1$. Coinciden. El punto de corte es **$Q(1, 2, 1)$**. 💡 **Tip:** Para $a=2$, el punto de corte coincide con el punto $P_r$ que habíamos extraído al principio.

El vector director $\vec{v_t}$ de la recta buscada debe ser perpendicular a $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ y $\vec{v_s} = (-2, -1, 2)$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_t} = [1 \cdot 2 \cdot \vec{i} + 1 \cdot 2 \cdot (-2) \cdot \vec{j} + (-2) \cdot (-1) \cdot \vec{k}] - [(-2) \cdot 1 \cdot \vec{k} + (-1) \cdot 2 \cdot \vec{i} + 1 \cdot 2 \cdot \vec{j}]$$ $$\vec{v_t} = (2\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k}) - (-2\vec{k} - 2\vec{i} + 2\vec{j})$$ $$\vec{v_t} = (2 - (-2))\vec{i} + (-4 - 2)\vec{j} + (-1 - (-2))\vec{k} = (4, -6, 1)$$ $$\vec{v_t} = (4, -6, 1)$$

La recta $t$ pasa por $Q(1, 2, 1)$ y tiene dirección $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$. Podemos dar la respuesta en forma continua: $$t \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z-1}{1}$$ O en forma paramétrica: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 - 6t \\ z = 1 + t \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{-6} = z-1}$$