Rango de una matriz con parámetros e inversa de una matriz escalar

**a) Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$. (1.5 puntos)** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo es máximo (rango 3). $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 5) + (-1 \cdot (m+1) \cdot m) + (0 \cdot 0 \cdot (m+2)) - [m \cdot 1 \cdot (m+2) + 0 \cdot (-1) \cdot 5 + 1 \cdot (m+1) \cdot 0]$$ $$|A| = 5 - (m^2 + m) - (m^2 + 2m)$$ $$|A| = 5 - m^2 - m - m^2 - 2m = -2m^2 - 3m + 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es exactamente 3.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$-2m^2 - 3m + 5 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $2m^2 + 3m - 5 = 0$. Aplicamos la fórmula cuadrática: $$m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4}$$ Obtenemos dos valores: - $m_1 = \frac{4}{4} = 1$ - $m_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$ **Discusión:** - **Si $m \neq 1$ y $m \neq -\frac{5}{2}$**: El $|A| \neq 0$, por lo tanto, el $\text{rg}(A) = 3$. - **Si $m = 1$ o $m = -\frac{5}{2}$**: El $|A| = 0$, por lo que el $\text{rg}(A) \lt 3$. En ambos casos, podemos encontrar un menor de orden 2 distinto de cero, por ejemplo: Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Por tanto, en estos casos el $\text{rg}(A) = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 1, -5/2 \implies \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 1 \text{ o } m = -5/2 \implies \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) Para $m = 2$, calcula la inversa de $2020A$. (1 punto)** Primero, calculamos el valor de la matriz $A$ y su determinante para $m=2$. Sustituimos $m=2$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ El determinante para $m=2$ es $|A| = -2(2)^2 - 3(2) + 5 = -8 - 6 + 5 = -9$. 💡 **Tip:** Para calcular la inversa de un producto de un escalar por una matriz, usamos la propiedad $(k \cdot A)^{-1} = \frac{1}{k} \cdot A^{-1}$. En este caso: $$(2020A)^{-1} = \frac{1}{2020} A^{-1}$$ Como $|A| = -9 \neq 0$, la matriz es invertible.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 6 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -3 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -7 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -2 \\ 5 & -3 & -2 \\ -7 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa $A^{-1}$ es: $$A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, aplicamos la propiedad vista anteriormente para obtener $(2020A)^{-1}$: $$(2020A)^{-1} = \frac{1}{2020} \cdot \left( \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \right)$$ $$(2020A)^{-1} = -\frac{1}{18180} \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Si queremos introducir el signo negativo en la matriz: $$(2020A)^{-1} = \frac{1}{18180} \begin{pmatrix} -5 & -5 & 7 \\ -6 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(2020A)^{-1} = -\dfrac{1}{18180} \begin{pmatrix} 5 & 5 & -7 \\ 6 & -3 & -3 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$