Cálculo de un parámetro mediante el área de una región

La región está delimitada por la función $f(x) = x e^{3x}$, el eje de abscisas ($y=0$) y la recta vertical $x=a$. Primero, buscamos el punto de corte de la función con el eje de abscisas: $$f(x) = 0 \implies x e^{3x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{3x}$ nunca es cero ($e^{3x} > 0$ para todo $x$), la única solución es: $$x = 0$$ Dado que el enunciado indica que $a > 0$, el intervalo de integración será $[0, a]$. En este intervalo, $f(x) = x e^{3x}$ es siempre positiva o cero, por lo que el área coincide con la integral definida: $$Area = \int_{0}^{a} x e^{3x} \, dx = \frac{1}{9}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba los puntos de corte con el eje $X$ para determinar los límites de la integral si no te los dan todos explícitamente.

Para resolver $\int x e^{3x} \, dx$, utilizamos el método de integración por partes. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^{3x} \, dx \implies v = \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x}$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x e^{3x} \, dx = x \cdot \left(\frac{1}{3}e^{3x}\right) - \int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx$$ $$\int x e^{3x} \, dx = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} + C = \frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$$ Podemos sacar factor común para simplificar: $$\int x e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{9}(3x - 1) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla "ALPES" para elegir $u$: (A)rcos, (L)ogaritmos, (P)olinomios, (E)xponenciales, (S)enos/Cosenos. Aquí el polinomio $x$ tiene prioridad para ser $u$.

Ahora calculamos la integral definida entre $0$ y $a$ e igualamos al valor del área proporcionado: $$\left[ \frac{e^{3x}}{9}(3x - 1) \right]_{0}^{a} = \frac{1}{9}$$ Sustituimos los límites (Barrow): $$\left( \frac{e^{3a}}{9}(3a - 1) \right) - \left( \frac{e^{3(0)}}{9}(3(0) - 1) \right) = \frac{1}{9}$$ $$\frac{e^{3a}(3a - 1)}{9} - \left( \frac{1}{9}(-1) \right) = \frac{1}{9}$$ $$\frac{e^{3a}(3a - 1)}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $9$ para eliminar denominadores: $$e^{3a}(3a - 1) + 1 = 1$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar Barrow, especialmente cuando el límite inferior no es cero o da un valor negativo como en este caso ($e^0 = 1$).

A partir de la ecuación obtenida: $$e^{3a}(3a - 1) + 1 = 1$$ Restamos $1$ en ambos lados: $$e^{3a}(3a - 1) = 0$$ Para que un producto sea cero, uno de los factores debe serlo: 1. $e^{3a} = 0$: No tiene solución real, ya que la función exponencial es siempre estrictamente positiva. 2. $3a - 1 = 0 \implies 3a = 1 \implies a = \frac{1}{3}$ Como el enunciado especifica que $a > 0$, la solución $a = 1/3$ es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{1}{3}}$$