Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1.25 puntos)** Antes de buscar las asíntotas, observamos si la expresión de la función $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1}$ se puede simplificar factorizando el numerador y el denominador. Factorizamos el numerador $x^2 - 2x - 3$ (buscamos dos números que sumen $2$ y multipliquen $-3$): $$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$ Factorizamos el denominador (diferencia de cuadrados): $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Así, para $x \neq -1$ y $x \neq 1$, la función es: $$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 3}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** Simplificar la función nos ayuda a identificar si una anulación del denominador es una asíntota vertical o una discontinuidad evitable.

Las asíntotas verticales (AV) suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador y no anulan el numerador. En $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-1 - 3}{-1 - 1} = \frac{-4}{-2} = 2$$ Como el límite es finito, **no hay asíntota vertical en $x = -1$**. Hay una discontinuidad evitable (un "punto vacío" en la gráfica). En $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0} = \pm \infty$$ Estudiamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$$ ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1 \text{ es la única asíntota vertical}}$$

Para las asíntotas horizontales (AH), calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Al ser el límite un valor real finito, existe una asíntota horizontal. Como existe asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si los grados del numerador y denominador son iguales, la AH es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 1 \text{ es la asíntota horizontal}}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$. Usaremos la forma simplificada $f(x) = \frac{x - 3}{x - 1}$ para facilitar el cálculo (siempre recordando que el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$). Derivamos usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1) \cdot (x - 1) - (x - 3) \cdot (1)}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x - 1 - x + 3}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de $f'(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}$. Observamos que: 1. El numerador es $2$, que es siempre positivo ($2 \gt 0$). 2. El denominador es $(x - 1)^2$, que es siempre positivo para todo $x$ en el dominio ($x \neq 1$). Por tanto, $f'(x) \gt 0$ para todos los valores del dominio. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 1) & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & + & + \\ \hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ 💡 **Tip:** Aunque la derivada sea positiva en todo el dominio, debemos separar los intervalos en los puntos donde la función no está definida ($x=-1$ y $x=1$). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{f(x) \text{ es creciente en } (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)}$$ No presenta intervalos de decrecimiento.