Geometría en el espacio: planos perpendiculares y simetría

**a) Determina la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$, paralelo a $r$ y que pasa por el punto $P$. (1.25 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y su vector normal (o dos vectores directores contenidos en el plano). En este caso: 1. El plano buscado, que llamaremos $\alpha$, pasa por el punto **$P(1, 1, 2)$**. 2. Como $\alpha$ debe ser perpendicular a $\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0$, el vector normal de $\pi$, que es $\vec{n}_{\pi} = (2, -1, 1)$, será paralelo al plano $\alpha$. 3. Como $\alpha$ debe ser paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{d}_r = (1, -2, -1)$, también será paralelo al plano $\alpha$. Por tanto, el vector normal de nuestro plano $\alpha$, $\vec{n}_{\alpha}$, será el producto vectorial de estos dos vectores. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro y paralelo a una recta, su vector normal es perpendicular a los vectores característicos de ambos.

Calculamos $\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\pi} \times \vec{d}_r$ mediante el desarrollo del determinante por Sarrus: $$\vec{n}_{\alpha} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\alpha} = \mathbf{i}\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k}\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\alpha} = (1 - (-2))\mathbf{i} - (-2 - 1)\mathbf{j} + (-4 - (-1))\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_{\alpha} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (3, 3, -3)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: **$\vec{n}_{\alpha} = (1, 1, -1)$**. $$\boxed{\vec{n}_{\alpha} = (1, 1, -1)}$$

La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos nuestro vector normal: $$1x + 1y - 1z + D = 0 \implies x + y - z + D = 0$$ Como el plano pasa por $P(1, 1, 2)$, sustituimos las coordenadas del punto para hallar $D$: $$1 + 1 - 2 + D = 0 \implies 0 + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{x + y - z = 0}$$

**b) Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. (1.25 puntos)** Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P$ respecto a una recta $r$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar un **plano auxiliar $\beta$** que pase por $P$ y sea perpendicular a la recta $r$. 2. Calcular el **punto de corte $M$** entre la recta $r$ y el plano $\beta$. Este punto $M$ será la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta y, por tanto, el punto medio entre $P$ y $P'$. 3. Utilizar la fórmula del **punto medio** para despejar $P'$. 💡 **Tip:** No utilices fórmulas directas de simetría, es más seguro y didáctico construir el plano perpendicular.

El plano $\beta$ es perpendicular a $r$, por lo que su vector normal es el vector director de la recta: $\vec{n}_{\beta} = \vec{d}_r = (1, -2, -1)$. La ecuación de $\beta$ es: $$1x - 2y - 1z + D' = 0$$ Sustituimos el punto $P(1, 1, 2)$ para hallar $D'$: $$1(1) - 2(1) - 1(2) + D' = 0 \implies 1 - 2 - 2 + D' = 0 \implies -3 + D' = 0 \implies D' = 3$$ El plano auxiliar es: $$\beta \equiv x - 2y - z + 3 = 0$$

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\beta$: $$x = 3 + \lambda, \quad y = 1 - 2\lambda, \quad z = -2 - \lambda$$ $$(3 + \lambda) - 2(1 - 2\lambda) - (-2 - \lambda) + 3 = 0$$ $$3 + \lambda - 2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en la recta: $$x_M = 3 + (-1) = 2$$ $$y_M = 1 - 2(-1) = 3$$ $$z_M = -2 - (-1) = -1$$ El punto medio es **$M(2, 3, -1)$**. $$\boxed{M(2, 3, -1)}$$

Sea $P'(x', y', z')$ el punto simétrico. Sabemos que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(2) - 1 = 3$$ $$y' = 2(3) - 1 = 5$$ $$z' = 2(-1) - 2 = -4$$ Por tanto, el punto simétrico es **$P'(3, 5, -4)$**. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P'(3, 5, -4)}$$