Ecuación matricial con parámetros y sistemas de ecuaciones

**a) Determina los valores de $m$ para los que la ecuación $AX + B = C$ tiene solución única.** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$ en la ecuación matricial: $$AX + B = C \implies AX = C - B$$ Calculamos la matriz columna $D$ resultante de la resta $C - B$: $$D = C - B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un sistema de la forma $AX = D$ tenga una **solución única**, la matriz de coeficientes $A$ debe ser invertible, lo que equivale a que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $m$. Utilizaremos el desarrollo por los elementos de la tercera fila (ya que tiene un cero) o la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\det(A) = (1 \cdot 2 \cdot 4) + (-1 \cdot -3 \cdot (m-1)) + (m \cdot m \cdot 0) - [(m-1) \cdot 2 \cdot m + 0 \cdot (-3) \cdot 1 + 4 \cdot m \cdot (-1)]$$ $$\det(A) = 8 + 3(m - 1) + 0 - [2m(m - 1) + 0 - 4m]$$ $$\det(A) = 8 + 3m - 3 - [2m^2 - 2m - 4m]$$ $$\det(A) = 5 + 3m - 2m^2 + 6m$$ $$\det(A) = -2m^2 + 9m + 5$$ 💡 **Tip:** También puedes desarrollar por una fila o columna. Al desarrollar por la fila 3: $(m-1) \cdot (3 - 2m) - 0 + 4 \cdot (2 + m) = 3m - 2m^2 - 3 + 2m + 8 + 4m = -2m^2 + 9m + 5$.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores de $m$ que hacen que el sistema no tenga solución única: $$-2m^2 + 9m + 5 = 0 \implies 2m^2 - 9m - 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{9 \pm 11}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $m_1 = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$ - $m_2 = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Por tanto, el determinante es distinto de cero si $m \neq 5$ y $m \neq -1/2$. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{5, -1/2\}}$$

**b) Para $m = 0$, halla $X$ tal que $AX + B = C$.** Si $m = 0$, la matriz $A$ se convierte en: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Como $m=0$ no es uno de los valores críticos hallados en el apartado anterior ($0 \neq 5$ y $0 \neq -1/2$), sabemos que el sistema $AX = D$ tiene solución única. Planteamos el sistema de ecuaciones lineales donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Que equivale al sistema: 1) $x - y = -2$ 2) $2y - 3z = 2$ 3) $-x + 4z = -2$

Resolvemos el sistema por sustitución: De la ecuación (1), despejamos $x$: $$x = y - 2$$ Sustituimos $x$ en la ecuación (3): $$-(y - 2) + 4z = -2 \implies -y + 2 + 4z = -2 \implies y = 4z + 4$$ Ahora sustituimos esta expresión de $y$ en la ecuación (2): $$2(4z + 4) - 3z = 2$$ $$8z + 8 - 3z = 2 \implies 5z = -6 \implies \mathbf{z = -\frac{6}{5}}$$ Calculamos $y$ usando el valor de $z$: $$y = 4\left(-\frac{6}{5}\right) + 4 = -\frac{24}{5} + \frac{20}{5} = \mathbf{-\frac{4}{5}}$$ Calculamos $x$ usando el valor de $y$: $$x = -\frac{4}{5} - 2 = -\frac{4}{5} - \frac{10}{5} = \mathbf{-\frac{14}{5}}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -14/5 \\ -4/5 \\ -6/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2,8 \\ -0,8 \\ -1,2 \end{pmatrix}}$$