Integral indefinida cíclica de la función coseno del logaritmo

Para resolver la integral $\int \cos(\ln x) \, dx$, observamos que se trata de una función compuesta que no tiene una primitiva inmediata. Utilizaremos el método de **integración por partes**. Llamamos $I = \int \cos(\ln x) \, dx$. Elegimos las partes de la siguiente forma: - $u = \cos(\ln x)$ - $dv = dx$ Calculamos sus diferenciales: - Para $du$: derivamos $u$ usando la regla de la cadena: $$du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{\sin(\ln x)}{x} \, dx$$ - Para $v$: integramos $dv$: $$v = \int dx = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común es: "Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme".

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de integración por partes: $$I = x \cdot \cos(\ln x) - \int x \cdot \left( -\frac{\sin(\ln x)}{x} \right) dx$$ Simplificamos la expresión cancelando las $x$ dentro de la integral: $$I = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) \, dx$$ Observamos que la nueva integral $\int \sin(\ln x) \, dx$ es del mismo tipo que la original. Aplicaremos integración por partes una segunda vez.

Para la integral $\int \sin(\ln x) \, dx$, elegimos nuevamente las partes: - $u_2 = \sin(\ln x)$ - $dv_2 = dx$ Calculamos los diferenciales: - $du_2 = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{\cos(\ln x)}{x} \, dx$ - $v_2 = x$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \frac{\cos(\ln x)}{x} \, dx$$ Simplificamos: $$\int \sin(\ln x) \, dx = x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) \, dx$$ 💡 **Tip:** En integrales cíclicas (donde la función vuelve a aparecer), es fundamental mantener la coherencia en la elección de $u$ y $dv$ en las dos aplicaciones para no volver al punto de partida ($0=0$).

Sustituimos el resultado del paso anterior en la expresión de $I$: $$I = x \cos(\ln x) + [x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) \, dx]$$ Como definimos $I = \int \cos(\ln x) \, dx$, la ecuación queda como: $$I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x) - I$$ Ahora despejamos $I$ sumando $I$ en ambos lados de la igualdad: $$2I = x \cos(\ln x) + x \sin(\ln x)$$ $$2I = x (\cos(\ln x) + \sin(\ln x))$$ Finalmente, dividimos entre 2 y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{x (\cos(\ln x) + \sin(\ln x))}{2} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \cos(\ln x) \, dx = \frac{x}{2} [\cos(\ln x) + \sin(\ln x)] + C}$$