Cálculo de parámetros en una función cúbica

Para resolver este problema, primero calculamos la derivada de la función $f(x)$, ya que la información sobre puntos críticos y pendientes de rectas tangentes o normales depende de $f'(x)$. Dada $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1$, su derivada es: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ **Condición 1: Punto crítico en $x = 2$.** Un punto crítico es aquel donde la primera derivada se anula. Por tanto, planteamos la ecuación $f'(2) = 0$: $$3a(2)^2 + 2b(2) + c = 0 \implies 12a + 4b + c = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos críticos (máximos, mínimos o puntos de inflexión de tangente horizontal) siempre cumplen la condición $f'(x) = 0$. $$\boxed{12a + 4b + c = 0 \quad \text{--- (Ecuación 1)}}$$

La recta normal en el punto de abscisa $x = 1$ tiene la ecuación $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. **Condición 2: Pendiente de la recta normal.** La pendiente de esta recta normal es $m_n = \frac{1}{2}$. Sabemos que la relación entre la pendiente de la recta normal ($m_n$) y la pendiente de la recta tangente ($m_t = f'(1)$) en el mismo punto es: $$m_n = -\frac{1}{f'(1)} \implies f'(1) = -\frac{1}{m_n}$$ Sustituyendo el valor de $m_n$: $$f'(1) = -\frac{1}{1/2} = -2$$ Ahora, aplicamos este valor a la expresión de la derivada en $x = 1$: $$3a(1)^2 + 2b(1) + c = -2 \implies 3a + 2b + c = -2$$ 💡 **Tip:** Si la recta normal tiene pendiente $m$, la recta tangente tiene pendiente $-1/m$. $$\boxed{3a + 2b + c = -2 \quad \text{--- (Ecuación 2)}}$$

El punto de abscisa $x = 1$ pertenece tanto a la curva de la función como a la recta normal. **Condición 3: El punto $(1, f(1))$ pertenece a la recta normal.** Calculamos la ordenada $y$ sustituyendo $x = 1$ en la ecuación de la recta normal: $$y = \frac{1}{2}(1) + \frac{3}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$$ Esto significa que $f(1) = 2$. Usamos la expresión original de la función: $$a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) - 1 = 2 \implies a + b + c - 1 = 2 \implies a + b + c = 3$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den la ecuación de una recta tangente o normal en un punto $x_0$, puedes hallar $f(x_0)$ sustituyendo $x_0$ en dicha recta. $$\boxed{a + b + c = 3 \quad \text{--- (Ecuación 3)}}$$

Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: 1) $12a + 4b + c = 0$ 2) $3a + 2b + c = -2$ 3) $a + b + c = 3$ Para resolverlo, restamos ecuaciones para eliminar la variable $c$: - Restamos la **Eq. 2** a la **Eq. 1**: $(12a - 3a) + (4b - 2b) + (c - c) = 0 - (-2) \implies 9a + 2b = 2$ - Restamos la **Eq. 3** a la **Eq. 2**: $(3a - a) + (2b - b) + (c - c) = -2 - 3 \implies 2a + b = -5 \implies b = -5 - 2a$ Sustituimos $b$ en la ecuación resultante del primer paso: $$9a + 2(-5 - 2a) = 2 \implies 9a - 10 - 4a = 2 \implies 5a = 12 \implies a = \frac{12}{5} = 2.4$$ Calculamos $b$: $$b = -5 - 2\left(\frac{12}{5}\right) = -\frac{25}{5} - \frac{24}{5} = -\frac{49}{5} = -9.8$$ Calculamos $c$ usando la **Eq. 3**: $$\frac{12}{5} - \frac{49}{5} + c = 3 \implies -\frac{37}{5} + c = \frac{15}{5} \implies c = \frac{15+37}{5} = \frac{52}{5} = 10.4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{12}{5}, \quad b = -\frac{49}{5}, \quad c = \frac{52}{5}}$$