Distancia de un punto a una recta y área de un triángulo en el espacio

**a) Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$** Para calcular la distancia de un punto a una recta en el espacio, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{P_rA} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ En primer lugar, extraemos de las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto de la recta: $P_r(-1, 0, 2)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$ El punto $A$ es $(1, 0, 1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones paramétricas, el punto se obtiene de los términos independientes y el vector de los coeficientes del parámetro $\lambda$.

Calculamos el vector $\vec{P_rA}$ que une el punto de la recta con el punto $A$: $$\vec{P_rA} = A - P_r = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 2) = (2, 0, -1)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{P_rA} \times \vec{v}_r$ mediante el determinante por el método de Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{P_rA} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{P_rA} \times \vec{v}_r = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{P_rA} \times \vec{v}_r = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(2 - 0) = 1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ Obtenemos el vector: **$(1, 1, 2)$**

Calculamos los módulos necesarios para la fórmula: - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{P_rA} \times \vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ - Módulo del vector director: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{3} \text{ unidades}}$$

**b) Determina el área del triángulo de vértices $A, B$ y $O$** El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $O$ se puede calcular como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que parten de un mismo vértice, por ejemplo $\vec{OA}$ y $\vec{OB}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$$ Definimos los vectores con origen en $O(0, 0, 0)$: - $\vec{OA} = A - O = (1, 0, 1)$ - $\vec{OB} = B - O = (-1, 0, 2)$ 💡 **Tip:** El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo formado por los vectores.

Calculamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}$: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Como la segunda columna tiene dos ceros, desarrollamos por ella: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = -0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - (1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1))\mathbf{j} = - (2 + 1)\mathbf{j} = -3\mathbf{j}$$ El vector resultante es **$(0, -3, 0)$**. Calculamos su módulo: $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$$ Finalmente, calculamos el área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1.5 \text{ unidades cuadradas}}$$