Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discute el sistema en función de $m$. (1.25 puntos)** Primero, escribimos las matrices del sistema, la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 0 & -m & 1 \\ 5 & 2 & m \\ 0 & m & m-3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 0 & -m & 1 & 1 \\ 5 & 2 & m & 0 \\ 0 & m & m-3 & -3 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando el desarrollo por la primera columna (ya que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -m & 1 \\ 5 & 2 & m \\ 0 & m & m-3 \end{vmatrix} = -5 \begin{vmatrix} -m & 1 \\ m & m-3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = -5 [(-m)(m-3) - (m)(1)] = -5 [-m^2 + 3m - m]$$ $$|A| = -5 [-m^2 + 2m] = 5m^2 - 10m$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite clasificar el sistema comparando el rango de $A$, el de $A^*$ y el número de incógnitas ($n=3$).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que cambian el rango de la matriz: $$5m^2 - 10m = 0 \implies 5m(m - 2) = 0$$ Las soluciones son: **$$m = 0$$** y **$$m = 2$$** Estos valores dividen el estudio en tres casos según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rango}(A) = 3$$ $$\text{rango}(A^*) = 3$$ $$n = 3 \text{ (incógnitas)}$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 2: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Para $m = 0$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ Analizamos los rangos: - En la matriz $A$, el menor $\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}$ es cero, pero $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. - En la matriz $A^*$, observamos que la fila 3 ($R_3$) es proporcional a la fila 1 ($R_1$): $R_3 = -3 R_1$. Por tanto, no añade información y $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. $$\boxed{\text{Si } m = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Para $m = 2$, sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$ - En la matriz $A$, $\text{rango}(A) = 2$ ya que $|A|=0$ y existe el menor $\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 10 \neq 0$. - En la matriz $A^*$, calculamos un menor de orden 3 usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-6-0) - 1(-6-0) + 1(-2-4) = 12 + 6 - 6 = 12 \neq 0$$ Entonces, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. $$\boxed{\text{Si } m = 2: \text{ Sistema Incompatible}}$$

**b) Para $m = 0$, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que $y = 5$. (1.25 puntos)** Sustituimos $m = 0$ en el sistema original: $$\left\{ \begin{aligned} -0y + z &= 1 \\ 5x + 2y + 0z &= 0 \\ 0y + (0 - 3)z &= -3 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} z &= 1 \\ 5x + 2y &= 0 \\ -3z &= -3 \end{aligned} \right.$$ De la primera y tercera ecuación obtenemos **$z = 1$**. De la segunda ecuación, despejamos $x$ en función de $y$: $$5x = -2y \implies x = -\frac{2}{5}y$$ Si llamamos $y = \lambda$, las soluciones generales son: $$\boxed{(x, y, z) = \left( -\frac{2}{5}\lambda, \lambda, 1 \right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

Nos piden buscar una solución donde $y = 5$. Usamos la expresión general de la solución con $\lambda = 5$: 1. Sustituimos $y = 5$ en la relación $x = -\frac{2}{5}y$: $$x = -\frac{2}{5}(5) = -2$$ 2. El valor de $z$ es constante independientemente de $y$: $$z = 1$$ Por tanto, la solución particular solicitada es: $$\boxed{(x, y, z) = (-2, 5, 1)}$$