Integración por cambio de variable y Teorema Fundamental del Cálculo

**a) Calcula $\int f(t)dt$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $x = 1 + e^t$). (1.5 puntos)** Seguimos la sugerencia del enunciado y definimos el cambio de variable: $$x = 1 + e^t$$ Para poder sustituir todos los términos de la integral, necesitamos hallar la relación entre los diferenciales derivando en ambos lados: $$dx = e^t dt$$ Como queremos despejar $dt$, y sabemos que $x = 1 + e^t \implies e^t = x - 1$, entonces: $$dt = \frac{dx}{e^t} = \frac{dx}{x - 1}$$ 💡 **Tip:** En un cambio de variable, no olvides calcular siempre el nuevo diferencial derivando la expresión elegida.

Sustituimos $1+e^t$ por $x$ y $dt$ por $\frac{dx}{x-1}$ en la integral original: $$\int \frac{1}{1 + e^t} dt = \int \frac{1}{x} \cdot \frac{dx}{x-1} = \int \frac{1}{x(x-1)} dx$$ Ahora tenemos una integral racional que resolveremos mediante la descomposición en fracciones simples: $$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$$ Multiplicamos por el denominador común: $$1 = A(x-1) + Bx$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x=0$: $1 = A(-1) \implies A = -1$ - Si $x=1$: $1 = B(1) \implies B = 1$ Por tanto: $$\int \frac{1}{x(x-1)} dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} \right) dx$$

Integramos cada término por separado: $$\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} \right) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos simplificar la expresión: $$\ln|x-1| - \ln|x| + C = \ln\left| \frac{x-1}{x} \right| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable sustituyendo $x = 1+e^t$: $$\ln\left| \frac{(1+e^t)-1}{1+e^t} \right| + C = \ln\left| \frac{e^t}{1+e^t} \right| + C$$ Como $e^t > 0$ y $1+e^t > 0$ para cualquier valor de $t$, podemos omitir el valor absoluto: $$\ln\left( \frac{e^t}{1+e^t} \right) + C = \ln(e^t) - \ln(1+e^t) + C = t - \ln(1+e^t) + C$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\int f(t)dt = t - \ln(1+e^t) + C}$$

**b) Se define $g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$. Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$ (1 punto)** Queremos calcular: $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x}$$ Evaluamos el límite en $x=0$. El numerador es $g(0) = \int_{0}^{0} f(t)dt = 0$ (toda integral definida con límites idénticos es cero). El denominador es $0$. Estamos ante una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, que nos permite derivar numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{1}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es la herramienta estándar en Bachillerato para resolver indeterminaciones $\frac{0}{0}$ cuando las funciones involucradas son derivables.

Para hallar $g'(x)$, aplicamos el **Teorema Fundamental del Cálculo**. Como $f(t) = \frac{1}{1+e^t}$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$, se cumple que: $$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} f(t)dt \right) = f(x)$$ Por tanto, el límite se reduce a: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$ Sustituimos el valor $x=0$ en la función $f$: $$f(0) = \frac{1}{1 + e^0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo indica que la derivada de una función integral respecto a su límite superior es la propia función evaluada en dicho límite. ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \frac{1}{2}}$$