Punto de la gráfica con pendiente máxima

Para resolver este problema, debemos recordar que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función $f$ en un punto $x$ viene dada por el valor de su primera derivada $f'(x)$. Por tanto, el objetivo es maximizar la función $g(x) = f'(x)$. Calculamos $f'(x)$ utilizando la regla del producto para la función $f(x) = (5 - x)e^{x-4}$: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(5-x) \cdot e^{x-4} + (5-x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-4})$$ $$f'(x) = (-1) \cdot e^{x-4} + (5-x) \cdot e^{x-4}$$ Factorizando el término común $e^{x-4}$: $$f'(x) = e^{x-4}(-1 + 5 - x) = (4 - x)e^{x-4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $y = u \cdot v$, entonces $y' = u'v + uv'$. En este caso $u = 5-x$ y $v = e^{x-4}$. $$\boxed{f'(x) = (4 - x)e^{x-4}}$$

Para encontrar el máximo de la pendiente $f'(x)$, debemos calcular su derivada y buscar sus puntos críticos. La derivada de la pendiente es la segunda derivada de la función original, $f''(x)$: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(4-x) \cdot e^{x-4} + (4-x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-4})$$ $$f''(x) = (-1) \cdot e^{x-4} + (4-x) \cdot e^{x-4}$$ Factorizando de nuevo: $$f''(x) = e^{x-4}(-1 + 4 - x) = (3 - x)e^{x-4}$$ Igualamos la segunda derivada a cero para localizar los posibles extremos: $$(3 - x)e^{x-4} = 0$$ Como la función exponencial $e^{x-4}$ es siempre positiva y nunca se anula, la única solución posible es: $$3 - x = 0 \implies x = 3$$ $$\boxed{x = 3}$$

Debemos comprobar si en $x = 3$ la pendiente alcanza un máximo relativo analizando el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline 3-x & + & 0 & -\\ e^{x-4} & + & + & +\\ \hline f''(x)=(3-x)e^{x-4} & + & 0 & - \end{array}$$ **Justificación:** - Para $x \lt 3$, $f''(x) \gt 0$, lo que significa que la pendiente $f'(x)$ está aumentando. - Para $x \gt 3$, $f''(x) \lt 0$, lo que significa que la pendiente $f'(x)$ está disminuyendo. Al pasar de crecimiento a decrecimiento, confirmamos que en **$x = 3$ la pendiente alcanza un máximo relativo**. 💡 **Tip:** El punto donde la pendiente de la tangente es máxima o mínima siempre coincide con un punto de inflexión de la función original.

Para dar la respuesta completa, calculamos la coordenada $y$ del punto sustituyendo $x = 3$ en la función original $f(x)$: $$f(3) = (5 - 3)e^{3-4} = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}$$ El punto buscado es $P\left(3, \frac{2}{e}\right)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(3, \frac{2}{e}\right)}$$