Geometría: Distancia entre recta y plano y obtención de planos

**a) Calcula la distancia entre $r$ y $\pi$. (1 punto)** Para calcular la distancia entre una recta y un plano, primero debemos determinar su posición relativa. Extraemos los elementos característicos del plano $\pi \equiv x - y + z - 2 = 0$ y de la recta $r$: - Vector normal al plano: $\vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$. - Vector director de la recta: $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. - Punto de la recta: $P_r = (0, -1, -2)$. Comprobamos si la recta es paralela al plano mediante el producto escalar de sus vectores: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (2) \cdot (1) + (1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (1) = 2 - 1 - 1 = 0.$$ Como el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares, lo que significa que **la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ o está contenida en él**. Comprobamos si el punto $P_r(0, -1, -2)$ pertenece al plano: $$0 - (-1) + (-2) = 1 - 2 = -1 \neq 2.$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta es estrictamente **paralela** al plano. 💡 **Tip:** Si el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$ fuera distinto de cero, la recta y el plano serían secantes y la distancia sería cero.

Dado que la recta es paralela al plano, la distancia entre ambos coincide con la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $d(r, \pi) = d(P_r, \pi)$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $P_r(0, -1, -2)$ y el plano $\pi \equiv x - y + z - 2 = 0$: $$d(r, \pi) = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|0 + 1 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \sqrt{3} \text{ u}}$$

**b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$. (1.5 puntos)** Sea $\pi'$ el plano que buscamos. Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. Como $\pi'$ contiene a la recta $r$, contiene al punto $P_r(0, -1, -2)$ y su vector director es $\vec{v}_r = (2, 1, -1)$. 2. Como $\pi'$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$, será paralelo al plano $\pi'$. Por tanto, los vectores directores de $\pi'$ son $\vec{u} = (2, 1, -1)$ y $\vec{v} = (1, -1, 1)$.

El vector normal al plano $\pi'$, que llamaremos $\vec{n}_{\pi'}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(-1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot -1) - [\mathbf{k}(1 \cdot 1) + \mathbf{i}(-1 \cdot -1) + \mathbf{j}(2 \cdot 1)]$$ $$\vec{n}_{\pi'} = \mathbf{i} - \mathbf{j} - 2\mathbf{k} - (\mathbf{k} + \mathbf{i} + 2\mathbf{j})$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (1-1)\mathbf{i} + (-1-2)\mathbf{j} + (-2-1)\mathbf{k} = 0\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$$ El vector normal es $(0, -3, -3)$. Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{n}_{\pi'} = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al normal sirve para definir la orientación del plano y simplifica la ecuación final.

Con el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (0, 1, 1)$ y el punto $P_r(0, -1, -2)$, la ecuación del plano $\pi'$ es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$0(x - 0) + 1(y - (-1)) + 1(z - (-2)) = 0$$ $$y + 1 + z + 2 = 0$$ $$y + z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv y + z + 3 = 0}$$