Valores propios y sistemas de ecuaciones lineales

**a) Halla los valores de $\lambda$ tales que $|A - \lambda I| = 0$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (1.25 puntos)** En primer lugar, calculamos la matriz $A - \lambda I$ restando $\lambda$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 3 \\ 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ tiene 1s en la diagonal y 0s en el resto. Restar $\lambda I$ solo afecta a la diagonal de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Como la primera columna tiene dos ceros, desarrollamos por ella: $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 3 \\ 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante de orden 2: $$|A - \lambda I| = (1 - \lambda) [-\lambda(1 - \lambda) - 2] = (1 - \lambda) [-\lambda + \lambda^2 - 2] = (1 - \lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2)$$ Igualamos a cero para hallar las soluciones: 1. $1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 1$ 2. $\lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \implies \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$ De aquí obtenemos: $\lambda = \frac{4}{2} = 2$ y $\lambda = \frac{-2}{2} = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = -1}$$

**b) Para $\lambda = 1$, resuelve el sistema dado por $(A - \lambda I)X = 0$. ¿Existe alguna solución tal que $z = 1$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1.25 puntos)** Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz $A - \lambda I$ calculada anteriormente: $$A - 1I = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ El sistema $(A - I)X = 0$ se escribe como: $$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Lo que equivale a las ecuaciones: 1) $2y + 3z = 0$ 2) $-y + 2z = 0$ 3) $y = 0$ 💡 **Tip:** Un sistema del tipo $MX=0$ se llama sistema homogéneo y siempre tiene, al menos, la solución trivial $(0,0,0)$.

Resolvemos el sistema por sustitución directa utilizando la tercera ecuación: - De la ec. 3: **$y = 0$**. - Sustituyendo $y = 0$ en la ec. 2: $-0 + 2z = 0 \implies 2z = 0 \implies \mathbf{z = 0}$. - Sustituyendo $y = 0, z = 0$ en la ec. 1: $2(0) + 3(0) = 0$, que se cumple siempre. Observamos que la variable $x$ no aparece en ninguna ecuación con coeficientes distintos de cero, por lo que $x$ puede tomar cualquier valor real ($x = t$). La solución general es: $$\boxed{X = \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \text{ con } t \in \mathbb{R}}$$

Se nos pregunta si existe alguna solución tal que $z = 1$. Basándonos en la resolución del paso anterior, hemos determinado que para que el sistema se cumpla, es estrictamente necesario que **$z = 0$**. Por lo tanto, dado que $z$ debe ser obligatoriamente $0$, no existe ninguna solución al sistema donde $z = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe solución con } z = 1}$$