Puntos de corte y área entre curvas

**a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboza el recinto que determinan.** Primero, definimos la función valor absoluto $f(x) = |x|$ por ramas para facilitar el cálculo: $$f(x)=\begin{cases} -x & \text{si } x \lt 0, \\ x & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ Para hallar los puntos de corte, igualamos $f(x) = g(x)$ en cada intervalo: 1. **Si $x \ge 0$:** $$x = x^2 - 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, \, x_2 = -1$$ Como estamos en la rama $x \ge 0$, solo es válida **$x = 2$**. 2. **Si $x \lt 0$:** $$-x = x^2 - 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_3 = 1, \, x_4 = -2$$ Como estamos en la rama $x \lt 0$, solo es válida **$x = -2$**. Obtenemos las ordenadas sustituyendo en cualquiera de las funciones: Para $x = 2 \implies y = |2| = 2$. Para $x = -2 \implies y = |-2| = 2$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{P_1(2, 2) \text{ y } P_2(-2, 2)}$$

Para esbozar el recinto, debemos tener en cuenta que: - $f(x) = |x|$ es una función en forma de "V" con vértice en $(0,0)$. - $g(x) = x^2 - 2$ es una parábola con vértice en $(0, -2)$ y abierta hacia arriba. El recinto está delimitado superiormente por $f(x)$ e inferiormente por $g(x)$ entre los valores de $x$ hallados: $x = -2$ y $x = 2$. 💡 **Tip:** Ambas funciones son pares ($f(x)=f(-x)$ y $g(x)=g(-x)$), por lo que la gráfica es simétrica respecto al eje $Y$.

**b) Determina el área del recinto anterior.** El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (superior menos inferior) entre los puntos de corte: $$A = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (|x| - (x^2 - 2)) \, dx$$ Dado que tanto $f(x)$ como $g(x)$ son funciones pares, el recinto es simétrico respecto al eje $Y$. Podemos simplificar el cálculo integrando de $0$ a $2$ y multiplicando por $2$: $$A = 2 \int_{0}^{2} (x - (x^2 - 2)) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría simplifica mucho el cálculo de integrales con valores absolutos, ya que nos permite trabajar con una sola rama de la función.

Calculamos la integral definida aplicando la Regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]$$ 2. Aplicamos los límites de integración de $0$ a $2$: $$A = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_0^2$$ $$A = 2 \left( \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) \right) - (0) \right)$$ $$A = 2 \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) = 2 \left( 6 - \frac{8}{3} \right)$$ $$A = 2 \left( \frac{18 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{20}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado fuera negativo, revisa cuál es la función superior. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{20}{3} \approx 6,67 \text{ unidades de área}}$$