Derivabilidad de una función a trozos y recta tangente

**a) Determina los valores de $a$ y $b$. (1.75 puntos)** Para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo su dominio. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el salto entre ramas, en $x = 1$. Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 1$: - Valor de la función: $f(1) = 1 - 1 \ln 1 = 1 - 0 = 1$. - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} e^{2ax-4b} = e^{2a(1)-4b} = e^{2a-4b}.$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} (1 - x \ln x) = 1 - 1 \ln 1 = 1.$$ Para que sea continua en $x = 1$, los límites deben ser iguales: $$e^{2a-4b} = 1$$ Como $e^0 = 1$, igualamos el exponente a cero: $$2a - 4b = 0 \implies a = 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable, es condición necesaria que sea continua previamente.

Una vez garantizada la continuidad, estudiamos la derivabilidad analizando las derivadas laterales en $x = 1$. Primero hallamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 2a e^{2ax-4b} & \text{si } x \lt 1 \\ - (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Simplificando la segunda rama: $$f'(x) = \begin{cases} 2a e^{2ax-4b} & \text{si } x \lt 1 \\ -\ln x - 1 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Ahora igualamos las derivadas laterales en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = 2a e^{2a-4b}$. Como sabemos por continuidad que $e^{2a-4b}=1$, entonces $f'(1^-) = 2a$. - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = -\ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$. Para que sea derivable, $f'(1^-) = f'(1^+)$: $$2a = -1 \implies \mathbf{a = -\frac{1}{2}}$$ 💡 **Tip:** Al derivar el producto $x \ln x$, usamos la regla $(uv)' = u'v + uv'$. Aquí $u=x, v=\ln x$.

Utilizamos la relación obtenida de la continuidad ($a = 2b$) y el valor de $a$ hallado mediante la derivabilidad: $$a = 2b \implies -\frac{1}{2} = 2b \implies \mathbf{b = -\frac{1}{4}}$$ Por tanto, los valores para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$ son: $$\boxed{a = -\frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{4}}$$

**b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. (0.75 puntos)** El punto $x = 2$ pertenece a la segunda rama de la función ($x \ge 1$). Necesitamos calcular $f(2)$ y $f'(2)$. 1. **Ordenada en el punto** ($f(2)$): $$f(2) = 1 - 2 \ln 2$$ 2. **Pendiente de la tangente** ($f'(2)$): Utilizamos la derivada de la segunda rama calculada anteriormente: $f'(x) = -\ln x - 1$. $$m = f'(2) = -\ln 2 - 1$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x=x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Sustituimos los valores en la fórmula de la recta tangente: $$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$$ $$y - (1 - 2 \ln 2) = (-\ln 2 - 1)(x - 2)$$ Podemos simplificar la expresión para obtener la forma explícita: $$y = (-\ln 2 - 1)x + 2\ln 2 + 2 + 1 - 2\ln 2$$ $$y = (-\ln 2 - 1)x + 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -(1 + \ln 2)x + 3}$$ *Nota: También es válida la forma punto-pendiente: $y - (1 - 2 \ln 2) = -(1 + \ln 2)(x - 2)$.*