Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

**a) Halla $a$ sabiendo que $\pi$ es paralelo a $r$. (1.5 puntos)** Para trabajar con la posición relativa entre una recta y un plano, necesitamos sus vectores característicos. El vector normal del plano $\pi$ se obtiene directamente de sus coeficientes: $$\vec{n}_\pi = (1, -1, a)$$ La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos, $\vec{n}_1 = (4, -3, 4)$ y $\vec{n}_2 = (3, -2, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-3 \cdot 1) \vec{i} + (4 \cdot 3) \vec{j} + (4 \cdot (-2)) \vec{k}] - [(-3 \cdot 3) \vec{k} + (4 \cdot (-2)) \vec{i} + (4 \cdot 1) \vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (-3\vec{i} + 12\vec{j} - 8\vec{k}) - (-9\vec{k} - 8\vec{i} + 4\vec{j})$$ $$\vec{v}_r = (-3 + 8)\vec{i} + (12 - 4)\vec{j} + (-8 + 9)\vec{k} = 5\vec{i} + 8\vec{j} + 1\vec{k}$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (5, 8, 1)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero: $$r \parallel \pi \iff \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ Sustituimos los vectores obtenidos: $$(5, 8, 1) \cdot (1, -1, a) = 0$$ $$5(1) + 8(-1) + 1(a) = 0$$ $$5 - 8 + a = 0$$ $$-3 + a = 0 \implies a = 3$$ Adicionalmente, para que sean estrictamente paralelos, un punto de la recta no debe pertenecer al plano. Si tomamos $x=0$ en la recta: $$\begin{cases} -3y + 4z = 1 \\ -2y + z = 0 \end{cases} \implies z = 2y \implies -3y + 8y = 1 \implies 5y = 1 \implies y = 1/5, z = 2/5$$ El punto $Q(0, 1/5, 2/5)$ en $\pi$ con $a=3$ sería $0 - 1/5 + 3(2/5) = 5/5 = 1 \neq 0$. Como no pertenece, la recta es paralela al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) Determina el plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1, 2, 3)$. (1 punto)** Si un plano $\sigma$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n}_\sigma$. Usamos el vector $\vec{v}_r$ calculado en el apartado anterior: $$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r = (5, 8, 1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$5x + 8y + 1z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(1, 2, 3)$: $$5(1) + 8(2) + 1(3) + D = 0$$ $$5 + 16 + 3 + D = 0$$ $$24 + D = 0 \implies D = -24$$ Sustituimos $D$ en la ecuación general: $$5x + 8y + z - 24 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de un plano también se puede escribir directamente como $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ siendo $(x_0, y_0, z_0)$ el punto dado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{5x + 8y + z - 24 = 0}$$