Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Discute el sistema según los valores de $m$. (1,5 puntos)** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. El primer paso consiste en calcular el determinante de la matriz de coeficientes $A$ para ver cuándo su rango es máximo. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m+2 & -3 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot 4 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-2) \cdot 0 + m \cdot (m+2) \cdot 1] - [0 \cdot 4 \cdot 1 + m \cdot (-2) \cdot (-3) + (m+2) \cdot (-2) \cdot 1]$$ $$|A| = [-12 + 0 + m^2 + 2m] - [0 + 6m - 2m - 4]$$ $$|A| = m^2 + 2m - 12 - (4m - 4) = m^2 + 2m - 12 - 4m + 4$$ $$|A| = m^2 - 2m - 8$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica para qué valores de $m$ el rango de la matriz es 3. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que $\text{rg}(A) < 3$: $$m^2 - 2m - 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos valores críticos: $$m_1 = \frac{8}{2} = 4, \qquad m_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ $$\boxed{m = 4, \quad m = -2}$$

Si $m \neq 4$ y $m \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rg}(A) = 3$ - $\text{rg}(A|B) = 3$ (ya que la matriz ampliada tiene tamaño $3 \times 4$ y no puede tener rango superior a 3). Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 4, -2 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Si $m = 4$, la matriz ampliada es: $$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & -2 & 8 \\ 0 & 6 & -3 & 1 \end{array} \right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} = 4 - (-8) = 12 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ orlando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 4 & 8 \\ 0 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1(4 - 48) - (-2)(4 - 0) + 2(24 - 0) = -44 + 8 + 48 = 12 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $\text{rg}(A|B) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A|B)$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es un **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 4 \implies \text{SI (No tiene solución)}}$$

Si $m = -2$, la matriz ampliada es: $$(A|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 2 \\ -2 & 4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array} \right)$$ Analizamos los rangos: En $A$, la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = -2F_1$). Lo mismo ocurre en la matriz ampliada completa. Por tanto, podemos eliminar la segunda fila. La matriz resultante es: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ Aquí, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A|B) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3$ ($n^o$ incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}}$$

**b) Para $m = -2$, ¿existe alguna solución con $z = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)** Partimos del sistema simplificado obtenido para $m = -2$ en el apartado anterior: $$\begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ -3z = 1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos directamente el valor de la incógnita $z$: $$-3z = 1 \implies z = -\frac{1}{3}$$ Como podemos observar, en **todas** las infinitas soluciones del sistema cuando $m = -2$, el valor de $z$ debe ser necesariamente $-\frac{1}{3}$. Si intentamos forzar que $z = 0$ en la segunda ecuación, obtendríamos: $$-3(0) = 1 \implies 0 = 1$$ Lo cual es una **contradicción**. Por lo tanto, no existe ninguna solución donde $z = 0$. 💡 **Tip:** En un SCI, aunque haya infinitas soluciones, algunas incógnitas pueden tener un valor fijo si las ecuaciones así lo determinan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe solución con } z=0 \text{ porque } z \text{ debe valer } -1/3}$$