Integral definida con potencias trigonométricas y partes

Para resolver la integral $\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}^{2}(x) d x$, el primer paso es simplificar el término cuadrático del seno. Integrar una potencia par de una función trigonométrica directamente es complicado, por lo que aplicamos la fórmula del ángulo mitad. Sabemos que: $$\operatorname{sen}^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ Sustituimos esta expresión en la integral: $$\int_{0}^{\pi} x \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right) dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{x}{2} - \frac{x \cos(2x)}{2} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, podemos separarla en dos partes: $$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} x \cos(2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las identidades para reducir potencias trigonométricas son fundamentales: $\operatorname{sen}^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ y $\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

Calculamos la primera parte, que es una integral polinómica inmediata: $$\frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$$ Evaluaremos los límites de integración al final de todo el proceso.

Ahora resolvemos la integral $\int x \cos(2x) \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos las variables siguiendo la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(2x) \, dx \implies v = \int \cos(2x) \, dx = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \cos(2x) \, dx = x \cdot \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} - \int \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int x \cos(2x) \, dx = \frac{x \operatorname{sen}(2x)}{2} - \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) = \frac{x \operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4}$$ 💡 **Tip:** No olvides que al integrar funciones compuestas como $\cos(ax)$, debes dividir por la constante $a$: $\int \cos(ax) dx = \frac{\operatorname{sen}(ax)}{a}$.

Combinamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores para hallar la función primitiva $F(x)$. Recordamos la expresión original: $$I = \frac{1}{2} \int x \, dx - \frac{1}{2} \int x \cos(2x) \, dx$$ Sustituimos los resultados: $$F(x) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{2} \left[ \frac{x \operatorname{sen}(2x)}{2} + \frac{\cos(2x)}{4} \right]$$ $$F(x) = \frac{x^2}{4} - \frac{x \operatorname{sen}(2x)}{4} - \frac{\cos(2x)}{8}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{2x^2 - 2x \operatorname{sen}(2x) - \cos(2x)}{8}}$$

Para resolver la integral definida entre $0$ y $\pi$, aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ Evaluamos en el límite superior $x = \pi$: $$F(\pi) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi \operatorname{sen}(2\pi)}{4} - \frac{\cos(2\pi)}{8}$$ Como $\operatorname{sen}(2\pi) = 0$ y $\cos(2\pi) = 1$: $$F(\pi) = \frac{\pi^2}{4} - 0 - \frac{1}{8} = \frac{\pi^2}{4} - \frac{1}{8}$$ Evaluamos en el límite inferior $x = 0$: $$F(0) = \frac{0^2}{4} - \frac{0 \cdot \operatorname{sen}(0)}{4} - \frac{\cos(0)}{8}$$ Como $\cos(0) = 1$: $$F(0) = 0 - 0 - \frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$$ Calculamos la diferencia: $$\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}^{2}(x) d x = \left( \frac{\pi^2}{4} - \frac{1}{8} \right) - \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{\pi^2}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{\pi^{2}}{4}}$$