Estudio de la curvatura y puntos de inflexión

Dada la función $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$, aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$: * Sea $u = e^x \implies u' = e^x$ * Sea $v = x^2 - 5x + 6 \implies v' = 2x - 5$ Sustituyendo en la fórmula: $$f'(x) = e^x(x^2 - 5x + 6) + e^x(2x - 5)$$ Factorizamos el término común $e^x$: $$f'(x) = e^x(x^2 - 5x + 6 + 2x - 5)$$ $$f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1)$$ 💡 **Tip:** Al derivar funciones del tipo $e^x \cdot g(x)$, el resultado siempre es $e^x(g(x) + g'(x))$. Esto agiliza mucho los cálculos. $$\boxed{f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1)}$$

Para estudiar la curvatura, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. Volvemos a aplicar la regla del producto a $f'(x)$: * Sea $u = e^x \implies u' = e^x$ * Sea $v = x^2 - 3x + 1 \implies v' = 2x - 3$ $$f''(x) = e^x(x^2 - 3x + 1) + e^x(2x - 3)$$ Nuevamente, simplificamos factorizando $e^x$: $$f''(x) = e^x(x^2 - 3x + 1 + 2x - 3)$$ $$f''(x) = e^x(x^2 - x - 2)$$ $$\boxed{f''(x) = e^x(x^2 - x - 2)}$$

Los puntos de inflexión son aquellos donde la segunda derivada se anula o no existe, y hay un cambio de signo en $f''(x)$. Resolvemos: $$f''(x) = 0 \implies e^x(x^2 - x - 2) = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ es siempre positiva ($e^x \gt 0$), la igualdad solo se cumple si el factor cuadrático es cero: $$x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$$ 💡 **Tip:** También podías factorizar por inspección: $x^2-x-2 = (x-2)(x+1) = 0$. $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos $x = -1$ y $x = 2$ para analizar el signo de $f''(x) = e^x(x^2 - x - 2)$. Dado que $e^x \gt 0$, el signo depende únicamente de $x^2 - x - 2$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline x^2-x-2 & + & 0 & - & 0 & +\\ e^x & + & + & + & + & +\\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (Convexa)} & \text{P.I.} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ * En $(-\infty, -1)$: $f''(x) \gt 0$, por lo tanto la función es **convexa**. * En $(-1, 2)$: $f''(x) \lt 0$, por lo tanto la función es **cóncava**. * En $(2, +\infty)$: $f''(x) \gt 0$, por lo tanto la función es **convexa**. ✅ **Resultados de curvatura:** $$\boxed{\text{Convexa (\cup) en } (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Cóncava (\cap) en } (-1, 2)}$$

Como existe un cambio de signo en $f''(x)$ en $x = -1$ y en $x = 2$, ambos son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas sustituyendo en la función original $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$: * **Para $x = -1$:** $$f(-1) = e^{-1}((-1)^2 - 5(-1) + 6) = e^{-1}(1 + 5 + 6) = 12e^{-1} = \frac{12}{e}$$ Punto $I_1 = (-1, 12/e) \approx (-1, 4.41)$ * **Para $x = 2$:** $$f(2) = e^2(2^2 - 5(2) + 6) = e^2(4 - 10 + 6) = e^2(0) = 0$$ Punto $I_2 = (2, 0)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I_1 = \left(-1, \frac{12}{e}\right), \quad I_2 = (2, 0)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=e^x(x^2-5x+6)", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(-1, 12/e)", "color": "#ef4444", "label": "P.I. 1" }, { "id": "p2", "latex": "(2, 0)", "color": "#ef4444", "label": "P.I. 2" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -2, "top": 10 } } }