Simetría respecto a un plano y paralelismo entre planos y rectas

**a) Halla el punto simétrico de $A$ respecto de $\pi_1$. (1.5 puntos)** Para hallar el punto simétrico $A'$ de $A$ respecto al plano $\pi_1$, seguiremos tres pasos: 1. Construir una recta $r$ perpendicular al plano $\pi_1$ que pase por $A$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi_1$ (este punto es el punto medio entre $A$ y $A'$). 3. Calcular $A'$ usando la fórmula del punto medio. El vector normal al plano $\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0$ es: $$\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$$ Este vector será el vector director de la recta $r$, ya que la recta es perpendicular al plano. Usando el punto $A(0, 1, -2)$, la ecuación de la recta $r$ en paramétricas es: $$r: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano y el vector director de la recta tienen la misma dirección.

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi_1$ para encontrar el valor de $\lambda$ en el punto de corte $M$: $$2(2\lambda) - (1 - \lambda) - (-2 - \lambda) + 5 = 0$$ $$4\lambda - 1 + \lambda + 2 + \lambda + 5 = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $M$: $$x = 2(-1) = -2$$ $$y = 1 - (-1) = 2$$ $$z = -2 - (-1) = -1$$ Por tanto, el punto de intersección es **$M(-2, 2, -1)$**. 💡 **Tip:** El punto $M$ es la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi_1$.

Como $M$ es el punto medio del segmento $AA'$, si llamamos $A'(x', y', z')$ a las coordenadas del punto simétrico, se cumple: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(-2) - 0 = -4$$ $$y' = 2(2) - 1 = 3$$ $$z' = 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{A'(-4, 3, 0)}$$

**b) Determina la recta que pasa por $A$ y es paralela a $\pi_1$ y $\pi_2$. (1 punto)** Si una recta $s$ es paralela a dos planos, su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos ($\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$). Por tanto, $\vec{v}_s$ se puede obtener mediante el producto vectorial de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Los vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 5, -6)$$ Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = [(-1)(-6) - (-1)(5)]\vec{i} - [(2)(-6) - (-1)(1)]\vec{j} + [(2)(5) - (-1)(1)]\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = [6 + 5]\vec{i} - [-12 + 1]\vec{j} + [10 + 1]\vec{k}$$ $$\vec{v}_s = 11\vec{i} + 11\vec{j} + 11\vec{k} = (11, 11, 11)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 11: $$\vec{v}_s = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Un vector director solo marca la dirección, por lo que podemos usar cualquier múltiplo proporcional para simplificar los cálculos.

Utilizamos el punto $A(0, 1, -2)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, 1, 1)$ para escribir la ecuación de la recta. Podemos darla en forma continua: $$s: \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - (-2)}{1}$$ O de forma simplificada: ✅ **Resultado (ecuación de la recta):** $$\boxed{x = y - 1 = z + 2}$$