Ecuaciones matriciales y determinantes

**a) [1,25 puntos] Dada la ecuación matricial $X^3 AX = B^2$, halla los posibles valores del determinante de $X$.** Partimos de la igualdad matricial $X^3 AX = B^2$. Para hallar el determinante de $X$, aplicamos el determinante a ambos lados de la ecuación: $$|X^3 AX| = |B^2|$$ Utilizamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^k| = |M|^k$. Aplicando estas propiedades obtenemos: $$|X^3| \cdot |A| \cdot |X| = |B|^2$$ $$|X|^3 \cdot |A| \cdot |X| = |B|^2$$ $$|X|^4 \cdot |A| = |B|^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aunque el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$), el producto de sus determinantes sí lo es porque son números reales.

Calculamos los determinantes de las matrices dadas $A$ y $B$ para poder sustituirlos en la ecuación anterior. Para la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (1 \cdot 1) = 2 - 1 = 1$$ Para la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (2 \cdot 1) = 0 - 2 = -2$$ Sustituimos estos valores en la expresión $|X|^4 \cdot |A| = |B|^2$: $$|X|^4 \cdot 1 = (-2)^2$$ $$|X|^4 = 4$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $2 \times 2$ se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la secundaria.

Resolvemos la ecuación de cuarto grado $|X|^4 = 4$ para hallar los posibles valores del determinante: $$|X|^2 = \sqrt{4} = 2 \quad \text{(tomamos la raíz positiva ya que un cuadrado no puede ser negativo)}$$ $$|X| = \pm\sqrt{2}$$ Existen dos valores posibles para el determinante de la matriz $X$. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{|X| = \sqrt{2} \quad \text{o} \quad |X| = -\sqrt{2}}$$

**b) [1,25 puntos] Determina si existe una matriz $Y$ tal que $A^2 Y B^{-1} = A$. En caso afirmativo, calcúlala.** Primero, comprobamos si las matrices son invertibles. Como $|A| = 1 \neq 0$ y $|B| = -2 \neq 0$, ambas matrices tienen inversa ($A^{-1}$ y $B^{-1}$ existen). Para despejar $Y$ de la ecuación $A^2 Y B^{-1} = A$, multiplicamos por la izquierda por $(A^2)^{-1}$ y por la derecha por $B$: $$(A^2)^{-1} A^2 Y B^{-1} B = (A^2)^{-1} A B$$ $$I \cdot Y \cdot I = (A^{-1})^2 A B$$ Simplificamos la expresión de la izquierda y la derecha: $$Y = A^{-1} A^{-1} A B$$ $$Y = A^{-1} (A^{-1} A) B$$ $$Y = A^{-1} I B = A^{-1} B$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si multiplicas por la izquierda en un miembro, debes multiplicar por la izquierda en el otro.

Calculamos $A^{-1}$ utilizando la fórmula para matrices $2 \times 2$: $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ con $|A| = 1$: 1. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. 2. Traspuesta de la adjunta: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. 3. Inversa: $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** En matrices $2 \times 2$, la inversa se obtiene rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, todo dividido por el determinante.

Finalmente, calculamos $Y$ multiplicando $A^{-1}$ por $B$: $$Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(2 \cdot 2) + (-1 \cdot 2) = 4 - 2 = 2$ ; $(2 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) = 2 + 0 = 2$ - Fila 2: $(-1 \cdot 2) + (1 \cdot 2) = -2 + 2 = 0$ ; $(-1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) = -1 + 0 = -1$ Obtenemos: $$Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$