Cálculo de un parámetro para un área determinada

Para delimitar la región de la que queremos calcular el área, primero buscamos los puntos de corte de la función $f(x) = 3x^2 - 2ax$ con el eje de abscisas (recta $y = 0$). Igualamos la ecuación de la parábola a cero: $$3x^2 - 2ax = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(3x - 2a) = 0$$ Esto nos proporciona dos puntos de corte: 1. $x_1 = 0$ 2. $3x - 2a = 0 \implies 3x = 2a \implies x_2 = \dfrac{2a}{3}$ Dado que el enunciado especifica que $a \gt 0$, los límites de integración para calcular el área serán $0$ y $\frac{2a}{3}$. 💡 **Tip:** El eje de abscisas es siempre la recta $y=0$. Para hallar las intersecciones de cualquier curva con este eje, solo debemos resolver la ecuación $f(x)=0$.

El área $A$ comprendida entre la curva y el eje $x$ se define como la integral del valor absoluto de la función entre los puntos de corte: $$A = \int_{0}^{2a/3} |3x^2 - 2ax| \, dx$$ Debemos determinar si la función queda por encima o por debajo del eje en el intervalo $(0, \frac{2a}{3})$. Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = \frac{a}{3}$: $$f\left(\frac{a}{3}\right) = 3\left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2a\left(\frac{a}{3}\right) = 3\left(\frac{a^2}{9}\right) - \frac{2a^2}{3} = \frac{a^2}{3} - \frac{2a^2}{3} = -\frac{a^2}{3}$$ Como $a \gt 0$, el resultado es negativo ($-a^2/3 \lt 0$). Esto significa que la parábola está por debajo del eje $x$. Por tanto, el área es la integral de la función cambiada de signo: $$A = \int_{0}^{2a/3} (0 - (3x^2 - 2ax)) \, dx = \int_{0}^{2a/3} (2ax - 3x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si una función $f(x)$ es negativa en un intervalo $[a, b]$, el área entre la curva y el eje $x$ es $\int_{a}^{b} -f(x) \, dx$ para asegurar que el resultado sea positivo.

Sabemos que el área debe ser igual a $4$ unidades cuadradas. Procedemos a calcular la integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$\int_{0}^{2a/3} (2ax - 3x^2) \, dx = 4$$ Calculamos la primitiva de la función término a término: $$\left[ 2a \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} \right]_{0}^{2a/3} = 4$$ $$\left[ ax^2 - x^3 \right]_{0}^{2a/3} = 4$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$\left( a \left( \frac{2a}{3} \right)^2 - \left( \frac{2a}{3} \right)^3 \right) - (a(0)^2 - 0^3) = 4$$ $$\left( a \cdot \frac{4a^2}{9} - \frac{8a^3}{27} \right) = 4$$ $$\frac{4a^3}{9} - \frac{8a^3}{27} = 4$$ Buscamos denominador común (27) para realizar la resta: $$\frac{12a^3}{27} - \frac{8a^3}{27} = 4 \implies \frac{4a^3}{27} = 4$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.

Partimos de la ecuación resultante: $$\frac{4a^3}{27} = 4$$ Multiplicamos ambos lados por $27$ y dividimos por $4$ (o simplificamos el $4$ en ambos miembros): $$a^3 = \frac{4 \cdot 27}{4}$$ $$a^3 = 27$$ Para despejar $a$, aplicamos la raíz cúbica: $$a = \sqrt[3]{27}$$ $$a = 3$$ Como el enunciado indicaba que $a \gt 0$, el valor hallado cumple las condiciones del problema. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3}$$