Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver el ejercicio, primero identificamos la expresión de la función y calculamos su derivada genérica, ya que las condiciones del enunciado implican tanto a la función como a su pendiente (derivada). Función original: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Derivada de la función (aplicando la regla de la potencia): $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto crítico en $x=x_0$ implica que $f'(x_0) = 0$ y que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto.

Utilizamos las dos primeras condiciones para hallar de forma directa los valores de $c$ y $d$: 1. **Pasa por el punto $(0, 3)$:** Esto significa que $f(0) = 3$. $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 3 \Rightarrow \mathbf{d = 3}$$ 2. **Tiene un punto crítico en $x = 0$:** La derivada debe anularse en ese punto, $f'(0) = 0$. $$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \Rightarrow \mathbf{c = 0}$$ De momento, nuestra función es $f(x) = ax^3 + bx^2 + 3$ y su derivada es $f'(x) = 3ax^2 + 2bx$.

La recta $y = -2x + 2$ es tangente a la curva en $x = 1$. De aquí obtenemos dos condiciones fundamentales: * **Condición de pendiente:** La derivada en $x=1$ debe ser igual a la pendiente de la recta tangente ($m = -2$). $$f'(1) = -2 \Rightarrow 3a(1)^2 + 2b(1) + 0 = -2 \Rightarrow 3a + 2b = -2 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ * **Condición de punto común:** El punto de tangencia pertenece tanto a la recta como a la curva. Calculamos la imagen en la recta para $x=1$: $$y = -2(1) + 2 = 0 \Rightarrow \text{El punto es } (1, 0)$$ Por tanto, $f(1) = 0$: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 0(1) + 3 = 0 \Rightarrow a + b + 3 = 0 \Rightarrow a + b = -3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den una recta tangente $y = mx + n$ en un punto $x_0$, recuerda que se cumplen dos cosas: $f'(x_0) = m$ y $f(x_0) = y(x_0)$.

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($a$ y $b$): $$\begin{cases} 3a + 2b = -2 \\ a + b = -3 \end{cases}$$ Despejamos $b$ de la segunda ecuación: $$b = -3 - a$$ Sustituimos en la primera: $$3a + 2(-3 - a) = -2$$ $$3a - 6 - 2a = -2$$ $$a - 6 = -2 \Rightarrow \mathbf{a = 4}$$ Ahora calculamos $b$: $$b = -3 - 4 \Rightarrow \mathbf{b = -7}$$ Los valores finales son: $$\boxed{a = 4, \quad b = -7, \quad c = 0, \quad d = 3}$$ La función buscada es: **$f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 3$**