Volumen de un tetraedro y distancia entre punto y recta

**a) [1,5 puntos] Calcula los valores de $t$ para que el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$ sea 5.** El volumen $V$ de un tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$ se calcula como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que partan de un mismo vértice: $$V = \frac{1}{6} \left| [\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}] \right|$$ Primero, calculamos las componentes de los vectores tomando el punto $B$ como origen: - $\vec{BA} = A - B = (t - 0, 2 - 1, -1 - 1) = (t, 1, -2)$ - $\vec{BC} = C - B = (-1 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (-1, -1, 1)$ - $\vec{BD} = D - B = (2 - 0, 3 - 1, -t - 1 - 1) = (2, 2, -t - 2)$ 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier vértice como origen, el resultado del volumen será el mismo.

El producto mixto $[\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}]$ coincide con el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$[\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}] = \begin{vmatrix} t & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -t - 2 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, aplicamos propiedades de los determinantes. Observamos que la tercera fila es casi proporcional a la segunda. Hacemos la operación elemental $F_3 \to F_3 + 2F_2$: $$[\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}] = \begin{vmatrix} t & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -t \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por la tercera fila: $$[\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD}] = (-t) \cdot \begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -t \cdot (t(-1) - 1(-1)) = -t(-t + 1) = t^2 - t$$ 💡 **Tip:** Si no ves la propiedad de las filas, puedes aplicar la regla de Sarrus directamente: $(t^2+2t+2+4)-(4+2t+t+2) = t^2+2t+6-t-6 = t^2-t$.

Igualamos el volumen a 5 unidades cúbicas: $$\frac{1}{6} |t^2 - t| = 5 \implies |t^2 - t| = 30$$ Esto nos da lugar a dos posibles ecuaciones debido al valor absoluto: **Caso 1:** $t^2 - t = 30$ $$t^2 - t - 30 = 0$$ $$t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-30)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2}$$ Obtenemos $t_1 = \frac{12}{2} = 6$ y $t_2 = \frac{-10}{2} = -5$. **Caso 2:** $t^2 - t = -30$ $$t^2 - t + 30 = 0$$ El discriminante es $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(30) = 1 - 120 = -119 \lt 0$. En este caso no existen soluciones reales. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{t = 6 \text{ y } t = -5}$$

**b) [1 punto] Para $t = 0$, calcula la distancia del punto $A$ a la recta determinada por los puntos $B$ y $C$.** Si $t=0$, los puntos son $A(0, 2, -1)$, $B(0, 1, 1)$ y $C(-1, 0, 2)$. La distancia de un punto $A$ a una recta $r$ (que pasa por $B$ y tiene vector director $\vec{BC}$) se define mediante el producto vectorial: $$d(A, r) = \frac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{|\vec{BC}|}$$ Necesitamos los vectores: - $\vec{BA} = (0, 1, -2)$ - $\vec{BC} = (-1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Esta fórmula representa la altura del paralelogramo formado por los vectores dividida por la base del mismo.

Calculamos el producto vectorial $\vec{BA} \times \vec{BC}$ mediante el determinante con los vectores unitarios $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$: $$\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{BA} \times \vec{BC} = (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k}) - (-1\mathbf{k} + 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j})$$ $$\vec{BA} \times \vec{BC} = (1-2)\mathbf{i} + (2-0)\mathbf{j} + (0-(-1))\mathbf{k} = (-1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial es un vector perpendicular a ambos vectores dados.

Calculamos los módulos de los vectores obtenidos: - $|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ - $|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(A, r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{d(A, r) = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ u.l.}}$$