Invertibilidad de matrices y sistemas con parámetros

**a) Determina los valores de $m$ para los que $AB$ no tiene inversa.** Primero calculamos el producto de las matrices $A$ ($2 \times 3$) y $B$ ($3 \times 2$), que dará como resultado una matriz de dimensión $2 \times 2$: $$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1) + 1(-1) + 1(1) & 2(0) + 1(m) + 1(1) \\ 1(1) + 0(-1) + 1(1) & 1(0) + 0(m) + 1(1) \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} 2 - 1 + 1 & 0 + m + 1 \\ 1 + 0 + 1 & 0 + 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & m + 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices $M_{p \times q} \cdot N_{q \times r}$ resulta en una matriz de dimensión $p \times r$.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Buscamos los valores de $m$ para los que el determinante es cero: $$\det(AB) = \begin{vmatrix} 2 & m + 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - 2(m + 1) = 2 - 2m - 2 = -2m$$ Para que **no tenga inversa**, imponemos $\det(AB) = 0$: $$-2m = 0 \implies m = 0$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{m = 0}$$

**b) Determina los valores de $m$ para los que $BA$ no tiene inversa.** Calculamos el producto $BA$ ($3 \times 2$ por $2 \times 3$), que resulta en una matriz $3 \times 3$: $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 + m & -1 & -1 + m \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$\det(BA) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ m - 2 & -1 & m - 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\det(BA) = [2(-1)(2) + 1(m-1)(3) + 1(m-2)(1)] - [3(-1)(1) + 1(m-1)(2) + 2(m-2)(1)]$$ $$\det(BA) = [-4 + 3m - 3 + m - 2] - [-3 + 2m - 2 + 2m - 4]$$ $$\det(BA) = [4m - 9] - [4m - 9] = 0$$ 💡 **Tip:** Existe una propiedad que dice que si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times m$ con $m \gt n$, entonces el determinante del producto $BA$ siempre es cero porque el rango de un producto de matrices no puede ser mayor que el rango de sus factores. Aquí $\text{rango}(BA) \le \min(\text{rango}(B), \text{rango}(A)) = 2$, por lo que al ser una matriz $3 \times 3$, su determinante es nulo. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Para cualquier valor de } m \in \mathbb{R}, BA \text{ no tiene inversa.}}$$

**c) Para $m = 0$, resuelve, si es posible, el sistema dado por $BAX = C$ y halla una solución en la que $x + y + z = 0$.** Sustituimos $m = 0$ en la matriz $BA$ hallada anteriormente: $$BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ El sistema $BAX = C$ se escribe como: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Escribimos la matriz ampliada $(M|C)$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & -1 & -2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es la primera multiplicada por $-1$ ($F_2 = -F_1$), por lo que es redundante. Aplicamos Gauss para simplificar: $$F_2 \to F_2 + F_1 \implies \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rango}(M) = \text{rango}(M|C) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

Nos quedamos con las ecuaciones linealmente independientes: 1) $2x + y + z = 2$ 2) $3x + y + 2z = 3$ Restamos la ecuación (1) a la (2) para eliminar $y$: $$(3x + y + 2z) - (2x + y + z) = 3 - 2 \implies x + z = 1 \implies z = 1 - x$$ Sustituimos $z$ en la primera ecuación para hallar $y$: $$2x + y + (1 - x) = 2 \implies x + y + 1 = 2 \implies y = 1 - x$$ Las soluciones generales dependen de un parámetro $t$: $$\begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - t \end{cases}$$

El enunciado pide una solución que cumpla la condición adicional $x + y + z = 0$. Sustituimos nuestras expresiones en función de $t$: $$t + (1 - t) + (1 - t) = 0$$ $$2 - t = 0 \implies t = 2$$ Ahora calculamos los valores de las incógnitas para $t = 2$: - $x = 2$ - $y = 1 - 2 = -1$ - $z = 1 - 2 = -1$ Comprobamos la condición: $2 + (-1) + (-1) = 0$. Es correcto. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{x = 2, \; y = -1, \; z = -1}$$