Determinación de una función a partir de su segunda derivada

Para obtener la primera derivada $f'(x)$, debemos integrar la función de la segunda derivada $f''(x) = e^x(x + 2)$. $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int e^x(x + 2) \, dx$$ Utilizamos el método de **integración por partes**, cuya fórmula es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes de la siguiente manera: - Sea $u = x + 2 \implies du = dx$ - Sea $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Aplicando la fórmula: $$f'(x) = (x + 2)e^x - \int e^x \, dx$$ $$f'(x) = (x + 2)e^x - e^x + C_1$$ Simplificando la expresión factorizando $e^x$: $$f'(x) = (x + 2 - 1)e^x + C_1 = (x + 1)e^x + C_1$$ 💡 **Tip:** Al integrar por partes funciones del tipo polinómica por exponencial, conviene elegir el polinomio como $u$ para que su grado disminuya al derivar.

Utilizamos la condición inicial $f'(0) = 1$ para encontrar el valor de la constante de integración $C_1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión hallada para $f'(x)$: $$f'(0) = (0 + 1)e^0 + C_1 = 1 \cdot 1 + C_1 = 1 + C_1$$ Como el enunciado indica que $f'(0) = 1$: $$1 + C_1 = 1 \implies C_1 = 0$$ Por lo tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = (x + 1)e^x}$$

Para hallar $f(x)$, integramos la primera derivada $f'(x) = (x + 1)e^x$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x + 1)e^x \, dx$$ Nuevamente, aplicamos el método de **integración por partes**: - Sea $u = x + 1 \implies du = dx$ - Sea $dv = e^x dx \implies v = e^x$ Sustituimos en la fórmula: $$f(x) = (x + 1)e^x - \int e^x \, dx$$ $$f(x) = (x + 1)e^x - e^x + C_2$$ Simplificando la expresión: $$f(x) = (x + 1 - 1)e^x + C_2 = xe^x + C_2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $e^x$ es la propia función $e^x$.

Para determinar $C_2$, utilizamos la condición inicial $f(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = 0 \cdot e^0 + C_2 = 0 + C_2 = C_2$$ Dado que $f(0) = 1$, entonces: $$C_2 = 1$$ La única función que satisface todas las condiciones impuestas es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = xe^x + 1}$$