Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1.25 puntos)** Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de $x$ que anulan el denominador pero no el numerador. Para la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$, el denominador se anula en: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Verificamos los límites laterales para confirmar: - Para **$x = 1$**: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty; \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ - Para **$x = -1$**: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty; \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto es $\pm\infty$, la recta $x=a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1, \quad x = -1}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito para buscar asíntotas horizontales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty$$ Como el límite no es un valor finito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Existe asíntota horizontal $y=L$ si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite será infinito.

Dado que el grado del numerador (3) es exactamente una unidad mayor que el del denominador (2), existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. 1. Calculamos la pendiente **$m$**: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^3 - x} = 1$$ 2. Calculamos la ordenada en el origen **$n$**: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{x^2 - 1} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0$$ Por tanto, la recta $y = 1x + 0$, es decir, **$y = x$**, es la asíntota oblicua. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar el crecimiento, derivamos $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 - 1) - (x^3)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}$$ Simplificando: $$f'(x) = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies x^2(x^2 - 3) = 0$$ Esto nos da como soluciones: - $x = 0$ - $x = \sqrt{3} \approx 1.73$ - $x = -\sqrt{3} \approx -1.73$ Debemos incluir en el estudio los puntos donde la función no está definida: $x = -1$ y $x = 1$. Analizamos el signo de $f'(x)$. Como el denominador $(x^2 - 1)^2$ y el factor $x^2$ son siempre $\ge 0$, el signo depende solo de $(x^2 - 3)$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \n.d. & - & \n.d. & - & 0 & + \\ \text{Función} & \nearrow & \text{Max} & \searrow & \n.d. & \searrow & \n.d. & \searrow & \text{Min} & \nearrow \end{array}$$ *(Nota: Aunque $f'(0)=0$, no hay cambio de signo, por lo que la función sigue decreciendo en el entorno de $x=0$)*

Basándonos en la tabla anterior, definimos los intervalos: - **Intervalos de crecimiento ($f'(x) \gt 0$):** $$(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$$ - **Intervalos de decrecimiento ($f'(x) \lt 0$):** $$(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente: } & (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \\ \text{Decreciente: } & (-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3}) \end{aligned}}$$