Dependencia lineal, ortogonalidad y volumen de un paralelepípedo

**a) Hallar $a$ y $b$ sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Disponemos los vectores en filas (o columnas) para calcularlo: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. Desarrollando por la primera fila: $$\det = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ b & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a & b \end{vmatrix}$$ $$\det = 2(0 - (-b)) - 1(1 - (-a)) + 0$$ $$\det = 2b - 1 - a$$ Para que sean dependientes, igualamos a cero: $$2b - 1 - a = 0 \implies a - 2b = -1 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y forman una base de $\mathbb{R}^3$.

La segunda condición nos indica que $\vec{w}$ es ortogonal a $\vec{u}$. Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo: $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$. Sustituimos las coordenadas de $\vec{w} = (a, b, 1)$ y $\vec{u} = (2, 1, 0)$: $$(a, b, 1) \cdot (2, 1, 0) = 0$$ $$a \cdot 2 + b \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$$ $$2a + b = 0 \implies b = -2a \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ se calcula como $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Ahora resolvemos el sistema formado por la Ecuación 1 y la Ecuación 2 por sustitución: 1) $a - 2b = -1$ 2) $b = -2a$ Sustituimos (2) en (1): $$a - 2(-2a) = -1$$ $$a + 4a = -1$$ $$5a = -1 \implies a = -\frac{1}{5}$$ Calculamos $b$ usando la relación $b = -2a$: $$b = -2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5}$$ ✅ **Resultado a):** $$\boxed{a = -\frac{1}{5}, \quad b = \frac{2}{5}}$$

**b) Para $a = 1$, calcular el valor o valores de $b$ para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas.** El volumen $V$ de un paralelepípedo definido por tres vectores es igual al valor absoluto de su producto mixto. El producto mixto coincide con el determinante de la matriz que forman los vectores: $$V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = |\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})|$$ En el apartado anterior, hallamos que el determinante era $\det = 2b - 1 - a$. Si tomamos $a = 1$: $$\det = 2b - 1 - 1 = 2b - 2$$ Igualamos el valor absoluto al volumen dado (6 $u^3$): $$|2b - 2| = 6$$ 💡 **Tip:** El volumen siempre debe ser positivo, por eso es fundamental el uso del valor absoluto al trabajar con el determinante.

La ecuación con valor absoluto $|2b - 2| = 6$ da lugar a dos posibles casos: **Caso 1:** El interior es positivo. $$2b - 2 = 6 \implies 2b = 8 \implies b = 4$$ **Caso 2:** El interior es negativo. $$2b - 2 = -6 \implies 2b = -4 \implies b = -2$$ Ambos valores de $b$ cumplen que el volumen sea de 6 unidades cúbicas. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{b = 4 \quad \text{y} \quad b = -2}$$