Potencias de matrices y propiedades de determinantes

**a) Calcula $A^{37}$ y $A^{41}$.** Primero, observamos que la matriz $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ tiene una estructura similar a una matriz de rotación de la forma: $$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$ Buscamos un ángulo $\theta$ tal que $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ y $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Esto corresponde a un ángulo de $\theta = 120^\circ$ (o $\frac{2\pi}{3}$ radianes). Una propiedad de estas matrices es que $(R(\theta))^n = R(n\theta)$. Esto sugiere que la matriz será periódica. 💡 **Tip:** Si no identificas la rotación, simplemente calcula las primeras potencias ($A^2, A^3, ...$) hasta encontrar la matriz identidad $I$ o un patrón repetitivo.

Calculamos $A^2$ realizando el producto matricial: $$A^2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} - \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} & -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^3$ usando el resultado anterior: $$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} + \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A^3 = I$, la matriz tiene **periodo 3**. Esto significa que para cualquier potencia $A^n$, podemos reducir el exponente usando el resto de la división entre 3: $A^n = A^{n \pmod 3}$. $$\boxed{A^3 = I}$$ 💡 **Tip:** En potencias de matrices, cuando llegas a la identidad $I$, los cálculos se simplifican enormemente ya que $I^k = I$.

Utilizamos la periodicidad encontrada: * **Para $A^{37}$:** Dividimos $37$ entre $3$. Obtenemos $37 = 3 \cdot 12 + 1$. El resto es $1$. $$A^{37} = (A^3)^{12} \cdot A^1 = I^{12} \cdot A = A = \mathbf{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$ * **Para $A^{41}$:** Dividimos $41$ entre $3$. Obtenemos $41 = 3 \cdot 13 + 2$. El resto es $2$. $$A^{41} = (A^3)^{13} \cdot A^2 = I^{13} \cdot A^2 = A^2 = \mathbf{\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$ ✅ **Resultados del apartado a):** $$\boxed{A^{37} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad A^{41} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$

**b) Halla el determinante de la matriz $3A^{52}(A^t)^4$.** Primero, calculamos el determinante de la matriz original $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$$ $$\boxed{|A| = 1}$$

Para hallar $|3A^{52}(A^t)^4|$, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz (aquí $n=2$ y $k=3$). 2. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 3. $|M^k| = |M|^k$. 4. $|M^t| = |M|$. Desarrollamos la expresión: $$|3A^{52}(A^t)^4| = 3^2 \cdot |A^{52}| \cdot |(A^t)^4|$$ $$= 9 \cdot |A|^{52} \cdot |A^t|^4$$ $$= 9 \cdot |A|^{52} \cdot |A|^4$$ Sustituimos $|A| = 1$: $$= 9 \cdot 1^{52} \cdot 1^4 = 9 \cdot 1 \cdot 1 = 9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar $k$ fuera de un determinante de una matriz de orden $n$, este sale elevado a la potencia $n$ ($k^n$). Es un error común olvidar este exponente. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{9}$$