Intersección de funciones y cálculo de áreas

**a) [1,25 puntos] Hallar el valor de $c$ sabiendo que las gráficas de $f$ y $g$ se cortan en el punto donde $g$ alcanza su máximo.** La función $g(x) = -x^2 + 2x + c$ representa una parábola cóncava hacia abajo (ya que el coeficiente de $x^2$ es $-1 \lt 0$). El máximo se encuentra en su vértice. Calculamos la coordenada $x$ del vértice mediante la fórmula $x_v = \frac{-b}{2a}$ o derivando: $$g'(x) = -2x + 2$$ Igualamos a cero para hallar el punto crítico: $$-2x + 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Ahora hallamos la ordenada del máximo sustituyendo $x=1$ en $g(x)$: $$y_{max} = g(1) = -(1)^2 + 2(1) + c = -1 + 2 + c = 1 + c$$ Por tanto, el punto máximo es $M(1, 1 + c)$. 💡 **Tip:** En una parábola $ax^2+bx+c$, el vértice siempre tiene la abscisa $x = -b/(2a)$.

El enunciado indica que $f(x)$ y $g(x)$ se cortan en ese punto máximo $M(1, 1 + c)$. Esto significa que el punto $M$ también debe satisfacer la ecuación de $f(x)$. Calculamos la imagen de $x=1$ en la función $f$: $$f(1) = -4(1) + 2 = -4 + 2 = -2$$ Como el punto es común a ambas gráficas, igualamos las ordenadas: $$1 + c = -2$$ $$c = -2 - 1 = -3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = -3}$$

**b) [1,25 puntos] Para $c = -3$, calcula el área de la región limitada por las gráficas de $f$ y $g$.** Con $c = -3$, las funciones son: $f(x) = -4x + 2$ $g(x) = -x^2 + 2x - 3$ Para delimitar el área, buscamos los puntos de intersección igualando ambas expresiones: $$-x^2 + 2x - 3 = -4x + 2$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 6x - 5 = 0 \implies x^2 - 6x + 5 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los límites de integración: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5$$ 💡 **Tip:** Estos valores de $x$ serán los límites inferior y superior de nuestra integral definida. $$\boxed{x = 1, \quad x = 5}$$

Para saber qué función resta a cuál, comprobamos cuál queda por encima en el intervalo $(1, 5)$. Tomamos un valor intermedio, por ejemplo $x = 2$: $f(2) = -4(2) + 2 = -6$ $g(2) = -(2)^2 + 2(2) - 3 = -3$ Como $g(2) \gt f(2)$, la parábola $g(x)$ está por encima de la recta $f(x)$. El área viene dada por: $$\text{Área} = \int_{1}^{5} [g(x) - f(x)] \, dx$$ $$\text{Área} = \int_{1}^{5} [(-x^2 + 2x - 3) - (-4x + 2)] \, dx$$ $$\text{Área} = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) \, dx$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 6x - 5) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[1, 5]$: 1. Valor en el límite superior ($x=5$): $$F(5) = -\frac{5^3}{3} + 3(5^2) - 5(5) = -\frac{125}{3} + 75 - 25 = -\frac{125}{3} + 50 = \frac{-125 + 150}{3} = \frac{25}{3}$$ 2. Valor en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{1^3}{3} + 3(1^2) - 5(1) = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{1}{3} - 2 = \frac{-1 - 6}{3} = -\frac{7}{3}$$ Finalmente, restamos ambos valores: $$\text{Área} = F(5) - F(1) = \frac{25}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{25}{3} + \frac{7}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ unidades cuadradas}}$$