Estudio de derivabilidad y monotonía de una función con valor absoluto

**a) Estudia la derivabilidad de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar la derivabilidad, primero debemos expresar la función $f(x)$ sin el valor absoluto. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$. La función queda definida a trozos como: $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{-x}{2-x} & \text{si } x \lt 0, \\ \dfrac{x}{2-x} & \text{si } x \ge 0, x \neq 2. \end{cases}$$ Como la función presenta un cambio de rama en $x = 0$ y una discontinuidad en $x = 2$, estudiaremos la continuidad y derivabilidad basándonos en estos puntos. 💡 **Tip:** Siempre que tengas un valor absoluto, el primer paso es desglosar la función en sus distintas ramas según el signo de la expresión interior del valor absoluto.

Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar la continuidad. 1. **En $x \neq 0$ y $x \neq 2$**: Las funciones de cada rama son cocientes de polinomios. El denominador solo se anula en $x = 2$, por lo que $f(x)$ es continua en $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. 2. **En $x = 0$**: - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2-x} = \frac{0}{2} = 0$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2-x} = \frac{0}{2} = 0$ - $f(0) = \frac{0}{2} = 0$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$f(x)$ es continua en $x = 0$**. En $x=2$ la función no está definida, por lo que presenta una asíntota vertical y no es continua (ni derivable). 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él.

Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$ y $x \neq 2$: - Si $x \lt 0$: $f'(x) = \frac{-1(2-x) - (-x)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{-2+x-x}{(2-x)^2} = \frac{-2}{(2-x)^2}$ - Si $x \gt 0$ y $x \neq 2$: $f'(x) = \frac{1(2-x) - x(-1)}{(2-x)^2} = \frac{2-x+x}{(2-x)^2} = \frac{2}{(2-x)^2}$ Por tanto: $$f'(x)=\begin{cases} \dfrac{-2}{(2-x)^2} & \text{si } x \lt 0, \\ \dfrac{2}{(2-x)^2} & \text{si } x \gt 0, x \neq 2. \end{cases}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en el punto de salto $x=0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2}{(2-x)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{(2-x)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado (estudio derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos donde no es derivable ($x=0$), donde no es continua ($x=2$) y donde la derivada se anula. Buscamos puntos donde $f'(x) = 0$: - En la rama $x \lt 0$: $\frac{-2}{(2-x)^2} = 0 \implies$ No tiene solución. - En la rama $x \gt 0$: $\frac{2}{(2-x)^2} = 0 \implies$ No tiene solución. Analizamos el signo de $f'(x)$ en la recta real: $$\begin{array}{c|ccc|c} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & + & \nexists & + \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{A.V.} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. 💡 **Tip:** Aunque el signo de la derivada no cambie al pasar por $x=2$, debemos separar los intervalos porque la función no está definida en ese punto. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en: } (-\infty, 0) \\ &\text{Creciente en: } (0, 2) \cup (2, +\infty) \end{aligned}}$$ Como dato adicional, existe un mínimo relativo en el punto $(0, f(0)) = (0, 0)$ donde la función presenta un pico (punto anguloso).