Simetría respecto a una recta y distancia punto-recta

**a) Determina el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. (1.5 puntos)** Para trabajar con facilidad, primero obtenemos el vector director $\vec{v}_r$ y un punto $A_r$ de la recta $r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 2), \quad \vec{n}_2 = (1, 0, -1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1)(-1)\vec{i} + (2)(1)\vec{j} + (1)(0)\vec{k}] - [(1)(-1)\vec{k} + (0)(2)\vec{i} + (-1)(1)\vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}) - (-\vec{k} + 0\vec{i} - \vec{j}) = \vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k} = (1, 3, 1)$$ Para el punto $A_r$, fijamos $z = 0$ en las ecuaciones de la recta: $$\begin{cases} x - y = 5 \\ x = 1 \end{cases} \implies 1 - y = 5 \implies y = -4$$ Luego, $A_r(1, -4, 0)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -4 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para hallar el simétrico de $P(1, 0, -1)$ respecto a $r$, construimos un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que pase por $P$. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 3, 1)$. La ecuación del plano es: $$1(x - 1) + 3(y - 0) + 1(z + 1) = 0$$ $$x - 1 + 3y + z + 1 = 0 \implies x + 3y + z = 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de simetría respecto a una recta, el primer paso suele ser proyectar el punto sobre la recta mediante un plano perpendicular.

El punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ es la proyección de $P$ sobre $r$. Sustituimos las coordenadas genéricas de $r$ en la ecuación de $\pi$: $$(1 + \lambda) + 3(-4 + 3\lambda) + (\lambda) = 0$$ $$1 + \lambda - 12 + 9\lambda + \lambda = 0$$ $$11\lambda - 11 = 0 \implies \lambda = 1$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$: $$x = 1 + 1 = 2$$ $$y = -4 + 3(1) = -1$$ $$z = 1$$ $$M(2, -1, 1)$$ $$\boxed{M(2, -1, 1)}$$

El punto $M$ es el punto medio entre $P(1, 0, -1)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ $$P' = 2(2, -1, 1) - (1, 0, -1)$$ $$P' = (4, -2, 2) - (1, 0, -1) = (3, -2, 3)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P'(3, -2, 3)}$$

**b) Calcula el punto de la recta $r$ que dista $\sqrt{6}$ unidades de $P$. (1 punto)** Sea $Q$ un punto genérico de la recta $r$. Por pertenecer a $r$, sus coordenadas son: $$Q(1 + \lambda, -4 + 3\lambda, \lambda)$$ Queremos que la distancia $d(P, Q) = \sqrt{6}$, lo que equivale a $|\vec{PQ}|^2 = 6$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 + \lambda - 1, -4 + 3\lambda - 0, \lambda - (-1)) = (\lambda, 3\lambda - 4, \lambda + 1)$$ Calculamos el cuadrado del módulo: $$|\vec{PQ}|^2 = \lambda^2 + (3\lambda - 4)^2 + (\lambda + 1)^2 = 6$$

Desarrollamos los cuadrados: $$\lambda^2 + (9\lambda^2 - 24\lambda + 16) + (\lambda^2 + 2\lambda + 1) = 6$$ $$11\lambda^2 - 22\lambda + 17 = 6$$ $$11\lambda^2 - 22\lambda + 11 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por 11: $$\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \implies (\lambda - 1)^2 = 0$$ Obtenemos una única solución: $$\lambda = 1$$ 💡 **Tip:** Si el punto $P$ estuviera a una distancia mayor que la mínima (distancia perpendicular), obtendríamos dos valores de $\lambda$. Aquí, el punto solicitado coincide con la proyección ortogonal $M$ hallada anteriormente.

Sustituimos $\lambda = 1$ en las coordenadas de $Q$: $$x = 1 + 1 = 2$$ $$y = -4 + 3(1) = -1$$ $$z = 1$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{Q(2, -1, 1)}$$