Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discútelo según los valores de $a$. (1.75 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de estas matrices en función del parámetro $a$ mediante el determinante de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|A| = a^3 + 1 + 1 - (a + a + a) = a^3 - 3a + 2$$ Para hallar las raíces de este polinomio, probamos con divisores del término independiente. Vemos que $a = 1$ es raíz ($1 - 3 + 2 = 0$). Aplicando Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante $a^2 + a - 2 = 0$: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a_1 = 1, \, a_2 = -2.$$ Por tanto, el determinante se anula para: $$\boxed{a = 1 \text{ y } a = -2}$$

Analizamos los tres casos posibles basándonos en los valores hallados: **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** Si $a$ no toma estos valores, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas (3). **Resultado:** El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene una solución única. **Caso 2: $a = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Todas las filas son iguales, por lo que el $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 1$. Como el rango es menor que el número de incógnitas (3): **Resultado:** El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. **Caso 3: $a = -2$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $\text{rango}(A) \lt 3$ porque $|A| = 0$. Tomamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 16 - 2 + 1 - (-2 + 4 + 4) = 15 - 6 = 9 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$: **Resultado:** El sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada son distintos, el sistema no tiene solución.

**b) Resuelve, si es posible, el sistema para $a = 1$ y $a = -2$. (0.75 puntos)** **Para $a = 1$:** Hemos visto que es un **Sistema Compatible Indeterminado**. El sistema se reduce a una sola ecuación: $$x + y + z = 1$$ Para resolverlo, expresamos dos de las variables en función de dos parámetros (ya que el grado de libertad es $n - \text{rango} = 3 - 1 = 2$): Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$: $$x = 1 - \lambda - \mu$$ ✅ **Solución para $a = 1$:** $$\boxed{x = 1 - \lambda - \mu; \quad y = \lambda; \quad z = \mu \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

**Para $a = -2$:** Como se ha discutido en el apartado anterior, para este valor de $a$ los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada son distintos ($\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$). Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto implica que el sistema no tiene solución. ✅ **Solución para $a = -2$:** $$\boxed{\text{No es posible resolverlo (Sistema Incompatible)}}$$