Cálculo de una función a partir de su segunda derivada

Para obtener la primera derivada, integramos la expresión de la segunda derivada $f''(x)$: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int \frac{1}{x+1} \, dx$$ La integral de una función de la forma $\frac{1}{x+a}$ es el logaritmo natural del valor absoluto del denominador: $$f'(x) = \ln|x+1| + C_1$$ Dado que el dominio de la función es $(-1, +\infty)$, se cumple que $x+1 \gt 0$, por lo que podemos prescindir del valor absoluto: $$f'(x) = \ln(x+1) + C_1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C$.

Utilizamos el dato $f'(0) = 0$ para encontrar el valor de la primera constante de integración $C_1$: $$f'(0) = \ln(0+1) + C_1 = 0$$ $$0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0$$ Por lo tanto, la expresión de la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = \ln(x+1)}$$

Para obtener la función original, integramos la primera derivada: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \ln(x+1) \, dx$$ Utilizaremos el método de **integración por partes**: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Para simplificar los cálculos, elegiremos $v = x+1$ en lugar de $v = x$ (ya que la derivada de $x+1$ sigue siendo $1$): - Sea $u = \ln(x+1) \implies du = \frac{1}{x+1} \, dx$ - Sea $dv = dx \implies v = x+1$ Aplicamos la fórmula: $$f(x) = (x+1)\ln(x+1) - \int (x+1) \frac{1}{x+1} \, dx$$ $$f(x) = (x+1)\ln(x+1) - \int 1 \, dx$$ $$f(x) = (x+1)\ln(x+1) - x + C_2$$ 💡 **Tip:** Elegir $v = x+c$ en la integración por partes de logaritmos puede simplificar mucho la integral posterior si el argumento del logaritmo es lineal.

Sabemos que la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 1)$, lo que significa que $f(0) = 1$. Sustituimos en la expresión obtenida: $$f(0) = (0+1)\ln(0+1) - 0 + C_2 = 1$$ $$1 \cdot \ln(1) - 0 + C_2 = 1$$ $$0 + C_2 = 1 \implies C_2 = 1$$ Sustituyendo el valor de $C_2$ en la expresión de $f(x)$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = (x+1)\ln(x+1) - x + 1}$$