Límite con parámetros mediante la Regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, $$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2}$$ evaluamos la expresión en $x=0$: - Numerador: $0 \cdot e^0 - \ln(1+0) - (a+1) \cdot 0 = 0 - 0 - 0 = 0$. - Denominador: $0^2 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. Dado que el enunciado afirma que el límite es finito y las funciones implicadas son derivables en el entorno de $x=0$, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Derivamos de forma independiente el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(x e^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x)' = (e^x + x e^x) - \frac{1}{1+x} - (a+1)$. - Derivada del denominador: $(x^2)' = 2x$. Por lo tanto: $$\lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \ln(1 + x) - (a + 1)x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \frac{1}{1+x} - (a+1)}{2x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: - El denominador tiende a $2(0) = 0$. - El numerador tiende a $e^0 + 0 \cdot e^0 - \frac{1}{1+0} - (a+1) = 1 + 0 - 1 - (a+1) = -a - 1$.

Para que el límite sea **finito**, dado que el denominador tiende a $0$, es necesario que el numerador también tienda a $0$ en $x=0$ (de lo contrario, el límite sería infinito). Planteamos la ecuación: $$-a - 1 = 0 \implies a = -1$$ 💡 **Tip:** Si el denominador de un límite tiende a 0 y el resultado es finito, el numerador debe anularse necesariamente en ese punto para mantener la indeterminación $0/0$ y poder seguir operando. ✅ **Resultado parcial (parámetro):** $$\boxed{a = -1}$$

Sustituimos $a = -1$ en la expresión obtenida tras la primera derivada: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \frac{1}{1+x} - (-1+1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + x e^x - \frac{1}{1+x}}{2x}$$ Como es una indeterminación **$0/0$**, aplicamos la **Regla de L'Hôpital por segunda vez**: - Derivada del numerador: $(e^x + x e^x - (1+x)^{-1})' = e^x + (e^x + x e^x) - (-1)(1+x)^{-2} \cdot 1 = 2e^x + x e^x + \frac{1}{(1+x)^2}$. - Derivada del denominador: $(2x)' = 2$. Ahora evaluamos el límite final: $$\lim_{x \to 0} \frac{2e^x + x e^x + \frac{1}{(1+x)^2}}{2} = \frac{2e^0 + 0 \cdot e^0 + \frac{1}{(1+0)^2}}{2} = \frac{2 + 0 + 1}{2} = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado (límite):** $$\boxed{L = \frac{3}{2}}$$