Puntos alineados y recta perpendicular a un plano

**a) Determina $a$ y $b$ para que los puntos $A, B$ y $C$ estén alineados. (1.25 puntos)** Tres puntos $A, B$ y $C$ están alineados si los vectores formados por ellos son proporcionales (tienen la misma dirección). Vamos a calcular los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-1), -1 - 3, -1 - 2) = (3, -4, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = ((a - 2) - (-1), 7 - 3, b - 2) = (a - 1, 4, b - 2)$$ Para que estén alineados, debe existir una constante $k$ tal que $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$, o lo que es lo mismo, sus componentes deben ser proporcionales: $$\frac{a - 1}{3} = \frac{4}{-4} = \frac{b - 2}{-3}$$ 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}(x_1, y_1, z_1)$ y $\vec{v}(x_2, y_2, z_2)$ son paralelos si $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$.

A partir de la igualdad de las razones obtenidas en el paso anterior, resolvemos para $a$ y $b$ utilizando la razón conocida $\frac{4}{-4} = -1$: 1. Para hallar $a$: $$\frac{a - 1}{3} = -1 \implies a - 1 = -3 \implies a = -3 + 1 \implies a = -2$$ 2. Para hallar $b$: $$\frac{b - 2}{-3} = -1 \implies b - 2 = 3 \implies b = 3 + 2 \implies b = 5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 5}$$

**b) En el caso $a = b = 1$, halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $A, B$ y $C$. (1.25 puntos)** Primero, determinamos las coordenadas de los puntos con los valores dados $a = 1$ y $b = 1$: - $A(-1, 3, 2)$ - $B(2, -1, -1)$ - $C(1 - 2, 7, 1) \implies C(-1, 7, 1)$ La recta $r$ que buscamos debe ser perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$. Esto significa que el **vector director de la recta** ($\vec{v_r}$) será el **vector normal del plano** ($\vec{n_{\pi}}$). 💡 **Tip:** El vector normal a un plano definido por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se obtiene mediante su producto vectorial: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$.

Calculamos dos vectores contenidos en el plano $\pi$: $$\vec{AB} = (3, -4, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - (-1), 7 - 3, 1 - 2) = (0, 4, -1)$$ El vector normal $\vec{n_{\pi}}$ se halla calculando el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante un determinante: $$\vec{n_{\pi}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -4 & -3 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n_{\pi}} = [(-4) \cdot (-1) - (-3) \cdot 4] \vec{i} - [3 \cdot (-1) - (-3) \cdot 0] \vec{j} + [3 \cdot 4 - (-4) \cdot 0] \vec{k}$$ $$\vec{n_{\pi}} = (4 + 12) \vec{i} - (-3) \vec{j} + (12) \vec{k}$$ $$\vec{n_{\pi}} = (16, 3, 12)$$ Este vector será el vector director de nuestra recta $\vec{v_r} = (16, 3, 12)$.

La recta pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v_r} = (16, 3, 12)$. Podemos expresar la recta en su forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 16\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = 12\lambda \end{cases}$$ O en su forma continua: $$\frac{x}{16} = \frac{y}{3} = \frac{z}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv \frac{x}{16} = \frac{y}{3} = \frac{z}{12}}$$