Discusión y resolución de un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas

**Para resolver el sistema de ecuaciones lineales, seguiremos los siguientes pasos: plantear la matriz ampliada, discutir el sistema mediante el Teorema de Rouché-Capelli y resolverlo para los valores de $\lambda$ que lo permitan.** Primero, extraemos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$. El sistema tiene $m=3$ ecuaciones y $n=2$ incógnitas ($x$ e $y$). $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 2 & 4 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas, el rango de $A$ no puede ser mayor que $n$. En este caso, $\text{rango}(A) \le 2$.

Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz ampliada $A^*$ debe ser igual al rango de $A$. Puesto que el rango de $A$ es como máximo 2, la matriz ampliada (que es de orden $3 \times 3$) debe tener un determinante igual a cero para que su rango no sea 3. Calculamos $\text{det}(A^*)$ usando la regla de Sarrus: $$\text{det}(A^*) = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda \end{vmatrix}$$ $$\text{det}(A^*) = [1 \cdot 4 \cdot 2\lambda + \lambda \cdot 1 \cdot \lambda + 2 \cdot 2 \cdot 1] - [\lambda \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2\lambda \cdot 2 \cdot \lambda]$$ $$\text{det}(A^*) = (8\lambda + \lambda^2 + 4) - (8\lambda + 1 + 4\lambda^2)$$ $$\text{det}(A^*) = 8\lambda + \lambda^2 + 4 - 8\lambda - 1 - 4\lambda^2 = -3\lambda^2 + 3$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-3\lambda^2 + 3 = 0 \implies 3\lambda^2 = 3 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$$ ✅ **Valores críticos:** $$\boxed{\lambda = 1, \quad \lambda = -1}$$

Analizamos los rangos según el valor de $\lambda$: * **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -1$** Si $\lambda$ no es ni $1$ ni $-1$, entonces $\text{det}(A^*) \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A^*) = 3$. Como el rango de $A$ es como máximo 2, los rangos son distintos. **Sistema Incompatible (S.I.)**, no tiene solución. * **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz $A^*$ es $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. El determinante de un menor $2 \times 2$ de $A$ es $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4-2=2 \neq 0$. Por tanto, $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 2$, el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. * **Caso 3: $\lambda = -1$** La matriz $A^*$ es $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$. Un menor de $A$ es $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4-(-2)=6 \neq 0$. Por tanto, $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 2$, el sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es compatible determinado.

Para $\lambda = 1$, el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes (ya que la primera y la tercera son idénticas): $$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-2$ y sumamos: $$-2x - 2y = -4$$ $$2x + 4y = 1$$ Sumando: $2y = -3 \implies \mathbf{y = -3/2}$. Sustituimos en la primera: $$x + (-3/2) = 2 \implies x = 2 + 3/2 = 7/2$$ ✅ **Solución para $\lambda = 1$:** $$\boxed{(x, y) = (7/2, -3/2)}$$

Para $\lambda = -1$, usamos las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-2$ y sumamos: $$-2x + 2y = -4$$ $$2x + 4y = 1$$ Sumando: $6y = -3 \implies \mathbf{y = -1/2}$. Sustituimos en la primera: $$x - (-1/2) = 2 \implies x = 2 - 1/2 = 3/2$$ ✅ **Solución para $\lambda = -1$:** $$\boxed{(x, y) = (3/2, -1/2)}$$