Cálculo de una integral indefinida mediante cambio de variable y partes

El enunciado nos sugiere realizar el cambio de variable $t = x + 1$ para simplificar el argumento del logaritmo. Calculamos el diferencial de $t$ derivando en ambos lados: $$t = x + 1 \implies dt = dx$$ Ahora, observemos el término dentro del logaritmo, $x^2 + 2x + 2$. Podemos completar el cuadrado para que aparezca la expresión del cambio: $$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1$$ Sustituyendo $t = x + 1$, la expresión se convierte en $t^2 + 1$. Así, la integral original se transforma en: $$I = \int \ln(t^2 + 1) \, dt$$ 💡 **Tip:** Completar el cuadrado es una técnica muy útil en integrales donde el denominador o el argumento es un polinomio de segundo grado sin raíces reales.

Para resolver $\int \ln(t^2 + 1) \, dt$, utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES (en este caso, el logaritmo como $u$): - $u = \ln(t^2 + 1) \implies du = \dfrac{2t}{t^2 + 1} \, dt$ - $dv = dt \implies v = t$ Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Aplicándola a nuestra integral: $$I = t \ln(t^2 + 1) - \int t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} \, dt$$ $$I = t \ln(t^2 + 1) - \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} \, dt$$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes suele recordarse con la frase: "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme".

Ahora debemos calcular $\int \dfrac{2t^2}{t^2 + 1} \, dt$. Al ser una función racional donde el grado del numerador es igual al del denominador, realizamos la división o sumamos y restamos en el numerador para separar la fracción: $$\int \frac{2t^2}{t^2 + 1} \, dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 1} \, dt = 2 \int \frac{(t^2 + 1) - 1}{t^2 + 1} \, dt$$ Separamos en dos integrales: $$2 \int \left( \frac{t^2 + 1}{t^2 + 1} - \frac{1}{t^2 + 1} \right) \, dt = 2 \int (1 - \frac{1}{t^2 + 1}) \, dt$$ Resolvemos las integrales inmediatas: $$2 [t - \arctan(t)] = 2t - 2\arctan(t)$$ Retomando la expresión completa de $I$ del paso anterior: $$I = t \ln(t^2 + 1) - [2t - 2\arctan(t)] + C$$ $$I = t \ln(t^2 + 1) - 2t + 2\arctan(t) + C$$

Finalmente, debemos expresar el resultado en términos de la variable original $x$. Para ello, sustituimos $t = x + 1$ en la expresión obtenida: Como $t = x + 1$, entonces $t^2 + 1 = (x+1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2$. Sustituyendo en la expresión: $$I = (x + 1) \ln(x^2 + 2x + 2) - 2(x + 1) + 2\arctan(x + 1) + C$$ Podemos desarrollar el término $-2(x+1)$ como $-2x - 2$. Como el $-2$ es una constante, se puede absorber dentro de la constante de integración $C$, aunque lo habitual es dejarlo simplificado de la siguiente manera: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \ln(x^2 + 2x + 2) \, dx = (x + 1) \ln(x^2 + 2x + 2) - 2x + 2\arctan(x + 1) + C}$$