Optimización del área de una zona rectangular

Definimos las dimensiones del rectángulo: - $x$: longitud de un par de lados paralelos (en metros). - $y$: longitud del otro par de lados paralelos (en metros). El enunciado nos dice que se disponen de $96$ metros de valla y se debe dejar un hueco de $4$ metros para una puerta. Por tanto, la longitud total del perímetro del rectángulo menos el hueco de la puerta debe ser igual a la valla disponible: $$(x + x + y + y) - 4 = 96$$ $$2x + 2y - 4 = 96$$ Simplificamos la ecuación para obtener la relación entre las variables: $$2x + 2y = 100 \implies x + y = 50$$ De aquí, podemos despejar una variable en función de la otra: $$\boxed{y = 50 - x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso siempre es identificar la función a maximizar/minimizar y la restricción que relaciona las variables.

Queremos maximizar el área del rectángulo, que viene dada por el producto de sus lados: $$A = x \cdot y$$ Sustituimos la relación hallada en el paso anterior ($y = 50 - x$) para obtener una función que dependa de una sola variable: $$A(x) = x(50 - x)$$ $$A(x) = 50x - x^2$$ **Dominio de la función:** Dado que $x$ e $y$ son longitudes, deben ser positivas: - $x \gt 0$ - $y = 50 - x \gt 0 \implies x \lt 50$ Por tanto, el dominio es $x \in (0, 50)$. $$\boxed{A(x) = 50x - x^2}$$

Para hallar el valor de $x$ que maximiza el área, calculamos la derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 50 - 2x$$ Resolvemos $A'(x) = 0$: $$50 - 2x = 0 \implies 2x = 50 \implies x = 25$$ Para confirmar que se trata de un máximo, calculamos la segunda derivada: $$A''(x) = -2$$ Como $A''(25) = -2 \lt 0$, según el criterio de la segunda derivada, en **$x = 25$ hay un máximo relativo**. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, la función tiene un máximo relativo en ese punto.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor de la otra dimensión $y$: $$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$$ Las dimensiones óptimas para la zona de cultivo son **$25$ metros por $25$ metros** (un cuadrado). Finalmente, calculamos el valor del área máxima: $$A = 25 \cdot 25 = 625 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 25 \text{ m} \times 25 \text{ m}. \quad \text{Área máxima: } 625 \text{ m}^2}$$