Volumen de un tetraedro y cálculo de altura

**a) Calcula el volumen de dicho tetraedro.** El volumen de un tetraedro definido por cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ se puede calcular a partir del producto mixto de tres vectores que partan de un mismo vértice. Tomaremos el vértice $A(0, 0, 0)$ como origen de coordenadas, lo que facilita enormemente los cálculos. Calculamos los vectores que forman las aristas desde el punto $A$: * $\vec{AB} = B - A = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)$ * $\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 1 - 0, 3 - 0) = (0, 1, 3)$ * $\vec{AD} = D - A = (1 - 0, 0 - 0, 3 - 0) = (1, 0, 3)$ 💡 **Tip:** El vector entre dos puntos $P$ y $Q$ se halla restando extremo menos origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

El producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ es igual al determinante de la matriz formada por las componentes de los tres vectores: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante (por ejemplo, desarrollando por la primera fila): $$\text{Det} = 1 \cdot (1 \cdot 3 - 3 \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 3 - 3 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$$ $$\text{Det} = 1(3) - 1(-3) + 0 = 3 + 3 = 6.$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El del tetraedro es la sexta parte.

Aplicamos la fórmula del volumen del tetraedro: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ $$V = \frac{1}{6} \cdot |6| = 1 \text{ unidad cúbica.}$$ ✅ **Resultado a):** $$\boxed{V = 1 \text{ u}^3}$$

**b) Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice $A$ de dicho tetraedro.** La altura $h_A$ es la distancia mínima (perpendicular) desde el vértice $A(0,0,0)$ al plano que contiene la cara opuesta, formada por los vértices $B, C$ y $D$. Primero, hallamos dos vectores directores del plano $BCD$: * $\vec{BC} = C - B = (0 - 1, 1 - 1, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$ * $\vec{BD} = D - B = (1 - 1, 0 - 1, 3 - 0) = (0, -1, 3)$

Para obtener el vector normal $\vec{n}$ al plano, realizamos el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n} = [0\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k}] - [0\mathbf{k} - 3\mathbf{i} - 3\mathbf{j}]$$ $$\vec{n} = (0 - (-3))\mathbf{i} - (0 - 3)\mathbf{j} + (1 - 0)\mathbf{k} = (3, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ nos da los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Sustituimos el vector normal $\vec{n} = (3, 3, 1)$ en la ecuación del plano: $$3x + 3y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $B(1, 1, 0)$ en la ecuación: $$3(1) + 3(1) + 0 + D = 0 \implies 6 + D = 0 \implies D = -6$$ La ecuación del plano $BCD$ es: $$\boxed{3x + 3y + z - 6 = 0}$$

La altura $h_A$ es la distancia del punto $A(0, 0, 0)$ al plano $3x + 3y + z - 6 = 0$. Aplicamos la fórmula de la distancia punto-plano: $$h_A = d(A, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores: $$h_A = \frac{|3(0) + 3(0) + 1(0) - 6|}{\sqrt{3^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{9 + 9 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$$ Racionalizando el resultado multiplicando por $\sqrt{19}$ en numerador y denominador: $$h_A = \frac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1.376 \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{h_A = \frac{6}{\sqrt{19}} \text{ u} \approx 1.38 \text{ u}}$$