Cálculo de parámetros en matrices a partir del producto y el rango

**Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $AB = C$ y $rg(A) = 2$.** En primer lugar, realizamos el producto de la matriz $A$ por el vector columna $B$ e igualamos el resultado al vector $C$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + 1(1) + 1(1) \\ 1(1) + a(1) + b(1) \\ c(1) + 1(1) + 4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 + a + b \\ c + 5 \end{pmatrix}$$ Como el enunciado indica que $AB = C$, igualamos los elementos de ambos vectores: $$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 + a + b \\ c + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ De aquí obtenemos un sistema de ecuaciones para los parámetros: 1. $1 + a + b = 2 \implies a + b = 1 \implies \mathbf{b = 1 - a}$ 2. $c + 5 = 1 \implies \mathbf{c = -4}$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$.

Sustituimos el valor hallado $c = -4$ y la relación $b = 1 - a$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 - a \\ -4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$ Se nos indica que el **rango de $A$ es 2**. Para una matriz de orden $3 \times 3$, si el rango es 2, esto implica necesariamente que su determinante debe ser igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de $A$ (aplicando la regla de Sarrus o desarrollo por menores): $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 - a \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = [1 \cdot a \cdot 4 + 1 \cdot (1-a) \cdot (-4) + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [(-4) \cdot a \cdot 1 + 1 \cdot (1-a) \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$\det(A) = [4a - 4 + 4a + 1] - [-4a + 1 - a + 4]$$ $$\det(A) = (8a - 3) - (-5a + 5)$$ $$\det(A) = 8a - 3 + 5a - 5 = 13a - 8$$ 💡 **Tip:** Si el determinante fuera distinto de cero, el rango sería 3. Al ser el rango 2, el determinante debe ser obligatoriamente 0.

Igualamos el determinante obtenido a cero para cumplir la condición de rango inferior a 3: $$13a - 8 = 0 \implies 13a = 8 \implies \mathbf{a = \frac{8}{13}}$$ Ahora, utilizamos la relación obtenida en el primer paso para hallar $b$: $$b = 1 - a = 1 - \frac{8}{13} = \frac{13 - 8}{13} \implies \mathbf{b = \frac{5}{13}}$$ Ya tenemos los valores candidatos: $a = \frac{8}{13}$, $b = \frac{5}{13}$ y $c = -4$.

Para asegurar que el rango es exactamente 2 y no 1, debemos comprobar que existe al menos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas con el valor de $a = 8/13$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 8/13 \end{vmatrix} = \frac{8}{13} - 1 = -\frac{5}{13} \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango es efectivamente 2. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{8}{13}, \quad b = \frac{5}{13}, \quad c = -4}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella.